गणित प्रकाश अध्याय 3 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

निम्नलिखित संख्याओं को आधार-5 पद्धति में दिए गए प्रतीकों का प्रयोग करके लिखिए। 15, 50, 137, 293, 651

उत्तर

प्रतीक हैं △ = 1, □ = 5, ⬡ = 25, ○ = 125, ∿ = 625, ↑ = 3125। हर बार सबसे बड़ी संभव सांकेतिक संख्या यथासंभव लीजिए, फिर नीचे उतरिए।

संख्या	समूहन	संख्यांक	आधार-5 अंक
15	5 + 5 + 5	□□□	30
50	25 + 25	⬡⬡	200
137	125 + 5 + 5 + 1 + 1	○ □□ △△	1022
293	125 + 125 + 25 + 5 + 5 + 5 + 1 + 1 + 1	○○ ⬡ □□□ △△△	2133
651	625 + 25 + 1	∿ ⬡ △	10101

जाँच: 15 = 3 × 5 ✓ 50 = 2 × 25 ✓ 125 + 10 + 2 = 137 ✓ 250 + 25 + 15 + 3 = 293 ✓ 625 + 25 + 1 = 651 ✓

ऐसा क्यों होता है: पहले सबसे बड़ी सांकेतिक संख्या लेना केवल आदत नहीं — यही सुनिश्चित करता है कि कोई प्रतीक पाँच बार बनाना न पड़े। 651 के लिए यदि आप 125 से आरंभ करते तो पाँच ○ चाहिए होते, और पाँच ○ मिलकर एक ∿ बनते हैं, अत: पुन: समूहन करना ही पड़ता। ऊपर से आरंभ करने पर सबसे छोटा संख्यांक सीधे मिल जाता है।

संकेत: 651 विशेष है — छह सौ से ऊपर की संख्या केवल तीन प्रतीकों में, क्योंकि 651 = 625 + 25 + 1 लगभग ठीक 5 की घातों पर बैठती है।

प्र2.

क्या ऐसी कोई संख्या है जिसे हमारी उपर्युक्त वर्णित आधार-5 पद्धति में नहीं दर्शाया जा सकता? क्यों या क्यों नहीं?

उत्तर

हाँ — शून्य। इसका कोई प्रतीक नहीं है और इसे बनाया भी नहीं जा सकता, क्योंकि यहाँ संख्यांक प्रतीकों का एक संग्रह है और शून्य को रिक्त संग्रह होना पड़ेगा, जो पृष्ठ पर दिख ही नहीं सकता।

प्रत्येक गणन संख्या 1, 2, 3, … लिखी जा सकती है, और इसका तर्क यह है:

कोई भी संख्या N लीजिए।
सबसे बड़ी सांकेतिक संख्या 5^k चुनिए जिसके लिए 5^k ≤ N हो। वह प्रतीक बनाइए और घटा दीजिए।
शेष पहले से छोटा होता है, अत: यह प्रक्रिया रुकनी ही है।
रुकने पर कुछ भी शेष नहीं बचता — प्रत्येक भाग बन चुका होता है।

यदि आप किसी प्रतीक को पाँच या अधिक बार न बनाएँ तो वह संख्यांक N के लिए एकमात्र भी होता है।

ऐसा क्यों होता है: ध्यान दीजिए कि यही आपत्ति मिस्र और रोमन पद्धतियों पर भी लागू होती है — उनमें से कोई भी शून्य नहीं लिख सकती, और किसी को आवश्यकता भी नहीं थी, क्योंकि वे केवल विद्यमान राशियाँ अंकित करती थीं। शून्य तभी अनिवार्य होता है जब स्थानीय मान पद्धति में किसी रिक्त स्थान को दिखाना पड़े, ताकि 305 को 35 न पढ़ा जाए। इसीलिए 0 का आविष्कार इस कहानी के अंतिम चरण में आता है, पहले चरण में नहीं।

क्या आप जानते हैं? इस पद्धति में ऋणात्मक संख्याएँ और भिन्न भी नहीं लिखी जा सकतीं। 628 सामान्य संवत् में ब्रह्मगुप्त की रचना, जिसने 0 और ऋणात्मक संख्याओं को पूर्ण संख्या का पद दिया, इन सबका मार्ग खोलती है।

प्र3.

आधार-7 पद्धति की सांकेतिक संख्याओं का अभिकलन कीजिए। सामान्यत: आधार-n पद्धति की सांकेतिक संख्याएँ क्या हैं?

उत्तर

1 से आरंभ कीजिए और प्रत्येक बार 7 से गुणा कीजिए।

7⁰ = 1
7¹ = 7
7² = 49
7³ = 343
7⁴ = 2401
7⁵ = 16807 …

अत: आधार-7 पद्धति की सांकेतिक संख्याएँ हैं 1, 7, 49, 343, 2401, 16807, …

सामान्यत: आधार-n पद्धति की सांकेतिक संख्याएँ n की घातें होती हैं:

n⁰ = 1, n, n², n³, n⁴, …

ऐसा क्यों होता है: पृष्ठ 63 की परिभाषा कहती है कि पहली सांकेतिक संख्या 1 होती है और प्रत्येक अगली वर्तमान को n से गुणा करके मिलती है। 1 से आरंभ करके बार-बार n से गुणा करना ही n की घातें लेना है। अत: “आधार-n” और “सांकेतिक संख्याएँ n की घातें” एक ही बात कहने के दो ढंग हैं — और यही वह गुण है जिससे पृष्ठ 67 पर सांकेतिक × सांकेतिक = सांकेतिक बनेगा।

स्वयं जाँचिए: 7 × 343 = 2401 और 49 × 49 = 2401 भी। सांकेतिक संख्याओं के दो भिन्न युग्म वही सांकेतिक संख्या देते हैं, क्योंकि 7¹ × 7³ और 7² × 7² दोनों 7⁴ ही हैं।

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