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गणित प्रकाश अध्याय 3 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
मान लीजिए आप एक संख्या पद्धति का उपयोग कर रहे हैं जिसमें संख्याओं को दर्शाने के लिए छड़ियों का उपयोग किया जाता है जैसा कि विधि 1 में बताया गया है। हिंदू संख्या पद्धति के संख्या नामों या संख्यांकों का उपयोग किए बिना दो संख्याओं या छड़ियों के दो संग्रहों के जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन की विधि बताइए।
उत्तर

चारों संक्रियाएँ केवल छड़ियाँ इधर-उधर रखकर की जा सकती हैं। दोनों संग्रहों को क और ख कहिए।

संक्रियाछड़ियों के साथ क्या कीजिएउत्तर क्या है
क + खदोनों ढेरों को मिलाकर एक ढेर बना दीजिए।मिला हुआ ढेर
क − खख की प्रत्येक छड़ी का क की एक छड़ी से युग्म बनाकर दोनों हटा दीजिए। ख के समाप्त होने पर रुक जाइए।क की शेष अमिलित छड़ियाँ
क × खख की प्रत्येक छड़ी के लिए क का एक पूरा नया ढेर बनाइए। फिर उन सभी ढेरों को मिला दीजिए।मिला हुआ ढेर
क ÷ खक में से बार-बार ऐसे बंडल निकालिए जिनका ख से एकैकी मिलान हो। प्रत्येक पूरे बंडल के पास एक चिह्न-छड़ी रख दीजिए।चिह्न-छड़ियाँ भागफल हैं; क में शेष वे छड़ियाँ जो पूरा बंडल नहीं बना पातीं, शेषफल हैं
ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक नियम उस संक्रिया का अर्थ ही है, नामों से रहित। जोड़ना अर्थात संग्रहों को मिलाना; घटाना अर्थात मिलान किया गया भाग हटाना; गुणन अर्थात समान संग्रहों को बार-बार जोड़ना; भाग अर्थात समान संग्रहों को बार-बार घटाना — और भागफल है कितनी बार ऐसा हो सका, जो स्वयं एक संख्या है, इसीलिए उसके लिए भी चिह्न-छड़ियों का अपना संग्रह बनता है। यहाँ कहीं भी “सात” शब्द की आवश्यकता नहीं पड़ी।
स्वयं जाँचिए: क = 7 छड़ियाँ और ख = 3 छड़ियाँ लीजिए। 3-3 के बंडल निकालिए: दो बंडल बनेंगे (दो चिह्न) और 1 छड़ी शेष रहेगी। यही 7 ÷ 3 = 2, शेषफल 1 है — और एक भी संख्या बोले बिना।
प्र2.
विधि 2 में दी गई संख्या पद्धति का विस्तार करने की एक विधि यह है कि एक से अधिक वर्णों वाली श्रृंखला का प्रयोग किया जाए। उदाहरण के लिए हम 27 के लिए ‘aa’ का प्रयोग कर सकते हैं। सभी संख्याओं को दर्शाने के लिए आप इस पद्धति को कैसे विस्तारित कर सकते हैं? ऐसा करने की अनेक विधियाँ हो सकती हैं।
उत्तर

किसी लंबाई की सभी श्रृंखलाओं का शब्दकोश-क्रम में प्रयोग कर लीजिए, तभी अगली लंबाई पर जाइए।

श्रृंखला की लंबाईश्रृंखलाएँकौन-सी संख्याएँकितनी
1 वर्णa, b, c, …, z1 – 2626
2 वर्णaa, ab, ac, …, az, ba, …, zz27 – 702262 = 676
3 वर्णaaa, aab, …, zzz703 – 18278263 = 17576
4 वर्णaaaa, …, zzzz18279 – 475254264 = 456976
26 + 676 = 702
702 + 17576 = 18278
18278 + 456976 = 475254

दो वर्णों की पहली श्रृंखला aa है और वह ठीक 27 पर आती है — जैसा पुस्तक में सुझाया गया है।

ऐसा क्यों होता है: k लंबाई की 26k श्रृंखलाएँ होती हैं और योग 26 + 262 + 263 + … असीमित रूप से बढ़ता है। अत: प्रत्येक संख्या को एक श्रृंखला मिल जाती है और कोई श्रृंखला व्यर्थ नहीं जाती — प्रत्येक संख्या का ठीक एक नाम और प्रत्येक नाम की ठीक एक संख्या। इस प्रकार यह एक अंतहीन मानक अनुक्रम बन जाता है, जो केवल 26 वर्णों वाली पद्धति नहीं थी।
प्रयास कीजिए: एक सरल विस्तार यह भी है — a, b, …, z, फिर aa, bb, …, zz, फिर aaa, bbb, …, zzz। यह भी कभी समाप्त नहीं होता, परंतु प्रत्येक चरण पर 26k के स्थान पर केवल 26 नए नाम देता है, अत: संख्यांक बहुत लंबे हो जाते हैं। दोनों सही हैं — पहला कहीं अधिक प्रभावी है।
प्र3.
आप स्वयं एक संख्या पद्धति बनाने का प्रयास कीजिए।
उत्तर

यहाँ एक उदाहरण दिया गया है; आपकी पद्धति पूर्णत: भिन्न हो सकती है और वह भी ठीक है। तीन प्रतीक लीजिए, जिनमें प्रत्येक अगला प्रतीक पिछले का दस गुना समूह दर्शाए।

● = 1    ■ = 10    ★ = 100
संख्यासमूहनमेरा संख्यांक
71+1+1+1+1+1+1●●●●●●●
2310 + 10 + 1 + 1 + 1■■●●●
140100 + 10 + 10 + 10 + 10★■■■■
306100 + 100 + 100 + 1+1+1+1+1+1★★★●●●●●●

पद्धति को अंतिम रूप देने से पहले उन तीन कसौटियों पर जाँचिए जो अध्याय अब तक रख चुका है:

  • क्या यह अंतहीन है? अभी नहीं — यह 1000 से ठीक पहले रुक जाती है। मुझे या तो 1000 के लिए प्रतीक जोड़ना होगा या स्थानों का प्रयोग करना होगा।
  • क्या इससे गिनना सरल है? हाँ — प्रतीकों का क्रम निश्चित है।
  • क्या इससे गणना सरल है? हाँ, क्योंकि प्रत्येक सांकेतिक संख्या पिछली की 10 गुना है, अत: दस ● मिलकर एक ■ और दस ■ मिलकर एक ★ बनाते हैं।
ऐसा क्यों होता है: सांकेतिक संख्याओं को किसी एक संख्या की घातें चुनने से ही पुन: समूहन यांत्रिक बन जाता है। यदि आपने ● = 1, ■ = 7, ★ = 30 चुना होता तो पद्धति संख्याएँ लिखने के लिए तब भी काम करती, परंतु आपको एक के स्थान पर दो अलग-अलग विनिमय दर याद रखनी पड़तीं।
क्या यह उपयोगी रहा? त्रुटि बताएँ