प्र1.
पिछली सांकेतिक संख्या के समान आकार के 10 संग्रहों को एक साथ समूहीकृत (जैसा कि मिस्र पद्धति में होता था) करने के स्थान पर क्या हम पिछली सांकेतिक संख्या के अनुरूप समान आकार के 5 संग्रहों को एक साथ समूहीकृत करके एक संख्या पद्धति प्राप्त कर सकते हैं? क्या इस 5 को किसी भी धनात्मक पूर्णांक से प्रतिस्थापित किया जा सकता है?
उत्तर
पहले प्रश्न का उत्तर हाँ है, और दूसरे का लगभग हाँ।
5 के समूह। पहली सांकेतिक संख्या 1 लीजिए और प्रत्येक बार 5 से गुणा कीजिए:
50 = 1 51 = 5 52 = 25 53 = 125 54 = 625 55 = 3125
ये सभी 5 की घातें हैं, अत: हमें एक पूर्णत: उपयुक्त आधार-5 पद्धति मिल जाती है, जिसकी छह सांकेतिक संख्याओं के प्रतीक △ □ ⬡ ○ ∿ ↑ हैं।
5 के स्थान पर कोई भी n। यही रचना किसी भी n के लिए चलती है: सांकेतिक संख्याएँ 1, n, n2, n3, … यही तो आधार-n संख्या पद्धति की परिभाषा है, और मिस्र की पद्धति इसका n = 10 वाला रूप है।
ऐसा क्यों होता है: एक धनात्मक पूर्णांक को छोड़ना पड़ेगा — n = 1। तब सांकेतिक संख्याएँ 1, 1 × 1, 1 × 1 × 1, … अर्थात सब 1 ही रहेंगी। कुछ नया कभी बनेगा ही नहीं, अत: “आधार-1 पद्धति” मिलान प्रतीकों के अतिरिक्त कुछ नहीं है। सही कथन यह है: 5 के स्थान पर 1 से बड़ा कोई भी पूर्णांक रखा जा सकता है।
क्या आप जानते हैं? आप जो भी कंप्यूटर प्रयोग करते हैं वह आधार 2 पर चलता है, जिसकी सांकेतिक संख्याएँ 1, 2, 4, 8, 16, … हैं और अंक केवल दो। छोटा आधार अर्थात कम प्रतीक याद रखने हैं परंतु संख्यांक लंबे — 25 आधार 10 में “25” है और आधार 2 में “11001”।