गणित प्रकाश अध्याय 3 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

मनुष्य ने कब से गिनना आरंभ किया?

उत्तर

लिखाई के आविष्कार से बहुत पहले से — कम से कम पाषाण युग से, अर्थात लगभग दस हजार वर्ष पूर्व से। चिह्नित हड्डियों के प्रमाण तो इससे भी कहीं अधिक प्राचीन हैं।

लेबोम्बो हड्डी (दक्षिण अफ्रीका) — 29 चिह्न — लगभग 44,000 वर्ष पुरानी
इशांगो हड्डी (कांगो गणराज्य) — स्तंभवार चिह्न — 20,000 से 35,000 वर्ष पुरानी
पाषाण युग के पशुपालक — लगभग 10,000 वर्ष पूर्व

ऐसा क्यों होता है: गिनने के लिए न लिखाई आवश्यक है और न संख्या-नाम। जो पशुपालक प्रत्येक गाय के लिए एक छड़ी रख लेता है, उसके पास पहले से ही एक संख्या पद्धति है। अत: गिनती इस अध्याय के किसी भी संख्यांक से कहीं अधिक प्राचीन है — हड्डियाँ हमें केवल यह बताती हैं कि गिनती का अभिलेख कितना पुराना है, यह नहीं कि गिनती कब आरंभ हुई।

प्र2.

उन्हें गिनने की क्या आवश्यकता थी? वे क्या गिनते थे?

उत्तर

जिस भी वस्तु का हिसाब रखना पड़ता था और जिस भी घटना का पूर्वानुमान करना पड़ता था, उसे वे गिनते थे।

भोजन: उपलब्ध फल, सब्जी और अनाज की मात्रा।
पशुधन: झुंड में पशुओं की संख्या, जिससे कोई पशु खो जाने पर तुरंत पता चल जाए।
व्यापार: अन्य समूहों के साथ वस्तुओं के आदान-प्रदान का विवरण।
अनुष्ठान: दी गई भेंट की संख्या।
समय: विगत दिनों का हिसाब, जिससे अमावस्या, पूर्णिमा या किसी ऋतु के आगमन का पूर्वानुमान किया जा सके।

क्या आप जानते हैं? लेबोम्बो हड्डी पर 29 चिह्न हैं — चंद्रमास के 29 या 30 दिनों के अत्यंत निकट। इसीलिए अनेक इतिहासकार मानते हैं कि इसका प्रयोग चंद्र कालदर्शक के रूप में हुआ होगा। दिन गिनना उतना ही आवश्यक था जितना पशु गिनना।

प्र3.

मनुष्य ने कब से संख्याओं को आधुनिक रूप में लिखना आरंभ किया?

उत्तर

लगभग 2000 वर्ष पूर्व, भारत में।

काल	क्या हुआ
प्राचीन (यजुर्वेद संहिता)	10 की घातों पर आधारित संख्या-नाम — एक (एकक), दस (दश), सौ (शत), हजार (सहस्र), दस हजार (अयुत) … 10¹² और उससे आगे तक, लगभग वैसे ही जैसे आज बोले जाते हैं
लगभग तीसरी शताब्दी सा.सं.	बख्शाली पांडुलिपि — 0 सहित 10 अंकों से संख्याएँ लिखने का पहला ज्ञात उदाहरण; 0 तब एक बिंदु के रूप में लिखा जाता था
499 सा.सं.	आर्यभट्ट ने 10 प्रतीकों वाली भारतीय पद्धति को पूर्णत: स्पष्ट किया और इससे गणनाएँ कीं
628 सा.सं.	ब्रह्मगुप्त ने 0 को ऋणात्मक संख्याओं सहित एक संख्या के रूप में संहिताबद्ध किया
800 – 830 सा.सं.	अरब जगत में पहुँची; अल-ख्वारिज्मी और अल-किंदी ने लोकप्रिय बनाया
1100 – 1200 सा.सं.	यूरोप पहुँची; फिबोनाची ने इसे अपनाने का पक्ष रखा
17वीं शताब्दी तक	पूरे यूरोप में अपनाई गई — इसे न अपनाना वैज्ञानिक प्रगति में बाधा बन जाता

ऐसा क्यों होता है: ध्यान दीजिए कि मौखिक रूप पहले आया। भारतीय ग्रंथों में 10 की घातों पर आधारित नाम हजारों वर्ष पूर्व से थे; परंतु उनसे मेल खाता लिखित रूप — 10 की प्रत्येक घात के लिए एक अंक और रिक्त घात के लिए 0 — बहुत बाद में बना, क्योंकि उसके लिए 0 का आविष्कार आवश्यक था।

प्र4.

मेसोपोटामिया के लोग 20, 50, 100,...... को कैसे लिखते होंगे?

उत्तर

मेसोपोटामिया की पद्धति आधार-60 है। इसमें केवल दो चिह्न हैं — 1 के लिए एक कील (यहाँ हम Y लिखेंगे) और 10 के लिए एक कोणीय कील (यहाँ <)। 59 तक की संख्याएँ एक ही स्थान में आ जाती हैं; 60 से आगे बाईं ओर एक और स्थान लेना पड़ता है।

20 = 10 + 10 → <<
50 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 → <<<<<
100 = (1) × 60 + 40 → Y | <<<<

अत: 20 और 50 के लिए केवल इकाई का स्थान पर्याप्त है। परंतु 100, 60 से बड़ा है, अत: इसके लिए दो स्थान चाहिए — एक 60 और शेष 40।

ऐसा क्यों होता है: आधार-60 पद्धति में 60 की कोई घात 60 या उससे अधिक बार नहीं आ सकती — यदि ऐसा हो तो उनमें से 60 को अगली घात में समूहीकृत कर दिया जाता है। इसलिए प्रत्येक स्थान में संख्या सदैव 0 से 59 के बीच रहती है, और यही कारण है कि 1 तथा 10 के दो चिह्न ही पूरे स्थान को भरने के लिए पर्याप्त हैं।

संकेत: आधार 60 से आपका सामना प्रतिदिन होता है। 1 घंटा = 60 मिनट और 1 मिनट = 60 सेकंड — मेसोपोटामिया की पद्धति आज भी प्रयोग में है।

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