गणित प्रकाश अध्याय 4 जियोबोर्ड गतिविधि (2026-27)

प्र1.

विकर्ण बनाने के लिए समान लंबाई के दो रबड़ बैंड को एक-दूसरे पर लंबवत रूप में व्यवस्थित कीजिए। इसके साथ सिरों को जोड़िए। आपको जो चतुर्भुज प्राप्त हुआ वह किस प्रकार का है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

उत्तर

आपको एक वर्ग प्राप्त होता है।

जियोबोर्ड पर दोनों बैंड कीलों के बीच इस प्रकार तने होते हैं कि वे बीच वाली कील पर कटते हैं — अर्थात प्रत्येक बैंड दूसरे द्वारा आधा-आधा बँट जाता है।

विकर्ण समान ✓ + एक-दूसरे को समद्विभाजित ✓ ⇒ चारों कोण 90° (निगमन 3)
विकर्ण 90° पर मिलते हैं ✓ ⇒ चारों भुजाएँ समान (निगमन 5)
⇒ वर्ग

चारों भुजाएँ समान क्यों निकलती हैं: केंद्र पर बने चारों छोटे त्रिभुजों की दोनों भुजाएँ समान लंबाई (बैंड का आधा भाग) की हैं और उनके बीच समकोण है। अत: वे SAS से सर्वांगसम हैं, और उनके कर्ण — जो आकृति की चारों भुजाएँ हैं — समान होने ही चाहिए।

स्वयं जाँचिए: यदि प्रत्येक बैंड 6 इकाई लंबा हो, तो प्रत्येक आधा भाग 3 इकाई का है और वर्ग की प्रत्येक भुजा √(3² + 3²) = 3√2 ≈ 4.24 इकाई होगी।

प्र2.

दोनों में से किसी एक विकर्ण को दोनों ओर 2 सेंटीमीटर तक विस्तारित कीजिए। अब आपको जो चतुर्भुज प्राप्त हुआ वह किस प्रकार का होगा? अपने उत्तर के औचित्य को सिद्ध कीजिए।

उत्तर

अब आपको समचतुर्भुज मिलता है — वर्ग नहीं, परंतु चारों भुजाएँ अब भी समान।

एक बैंड को दोनों सिरों पर 2-2 सेंटीमीटर बढ़ाने से उसका मध्यबिंदु ठीक वहीं रहता है। अत: दो बातें अपरिवर्तित रहती हैं और एक बदल जाती है —

शर्त	पहले	विस्तारित करने के बाद
विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं	हाँ	हाँ — मध्यबिंदु हिला ही नहीं
विकर्ण लंबवत हैं	हाँ	हाँ — दिशाएँ नहीं बदलीं
विकर्ण समान हैं	हाँ	नहीं — एक अब 4 सेंटीमीटर लंबा है

जो विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करें वे समचतुर्भुज देते हैं; 'समान' वाली शर्त, जो समचतुर्भुज को वर्ग बनाती है, अब छूट गई है।

भुजाएँ समान क्यों बनी रहती हैं: आधी लंबाइयों को p तथा q कहिए। केंद्र पर बने चारों त्रिभुज p तथा q भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज हैं, अत: चतुर्भुज की प्रत्येक भुजा √(p² + q²) है। p बढ़ाने से यह उभयनिष्ठ मान बदल जाता है, पर चारों भुजाएँ फिर भी एक-दूसरे के बराबर रहती हैं।

संकेत: यह उसी तथ्य का जियोबोर्ड रूप है कि वर्ग समान विकर्णों वाला समचतुर्भुज है। एक विकर्ण खींच दीजिए और वर्ग ढीला होकर झुके हुए समचतुर्भुज में बदल जाता है।