गणित प्रकाश अध्याय 4 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

क्या वर्ग एकमात्र ऐसा चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं? आइए, इस प्रश्न का उत्तर रचना के माध्यम से ज्ञात करें।

उत्तर

नहीं। वर्ग तो एक बहुत बड़े परिवार — समचतुर्भुजों — का एक सदस्य मात्र है।

समान लंबाई की AD तथा AB ऐसी खींचिए कि उनके बीच का कोण 90° के अतिरिक्त कुछ हो, जैसे 50°। शेष आकृति इस प्रकार पूरी कीजिए कि चारों भुजाएँ समान हों — आपको चार समान भुजाओं वाला ऐसा चतुर्भुज मिलेगा जिसके कोण 50°, 130°, 50°, 130° हैं। यह निश्चित ही वर्ग नहीं है।

समचतुर्भुज: वह चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की हों।

50° के स्थान पर 180° से कम कोई भी कोण लिया जा सकता है, अत: प्रत्येक भुजा-लंबाई के लिए अनगिनत समचतुर्भुज हैं; उनमें से केवल 90° वाला ही वर्ग है।

चार समान भुजाएँ आकार क्यों नहीं बाँधतीं: समान छड़ों से बनी चार-भुजा वाली संरचना दृढ़ नहीं होती — आप उसे बिना किसी भुजा की लंबाई बदले झुका सकते हैं। तीन छड़ों से बना त्रिभुज ऐसे नहीं झुकता, इसीलिए त्रिभुजों के लिए SSS एक सर्वांगसमता नियम है, पर चतुर्भुजों के लिए कोई 'SSSS' नियम नहीं होता।

प्र2.

क्या हम दिए गए चित्र से पूर्ण चतुर्भुज बना सकते हैं जिससे कि इसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की हों? एक बिंदु C चिह्नित कीजिए जिसकी B और D से दूरी AB (या AD) के समान हो।

उत्तर

हाँ, और परकार एक ही चरण में चौथा शीर्ष ढूँढ़ देता है।

परकार को AB की लंबाई तक खोलिए।
इसी को त्रिज्या मानकर B से एक चाप तथा D से दूसरा चाप खींचिए।
दोनों चाप C पर मिलते हैं। BC तथा DC मिला दीजिए।

AB = AD (समान खींची गईं)
BC = AB (B से खींचे चाप की त्रिज्या)
DC = AB (D से खींचे चाप की त्रिज्या)
⇒ AB = BC = CD = DA — एक समचतुर्भुज

चाप अवश्य क्यों मिलते हैं: B केंद्र वाले चाप का प्रत्येक बिंदु B से AB दूरी पर है, और D केंद्र वाले चाप का प्रत्येक बिंदु D से AB दूरी पर। उनका कटान बिंदु ही वह एकमात्र स्थान है जो दोनों से सही दूरी पर हो — अत: BD की उस ओर C की यही एकमात्र संभव स्थिति है।

संकेत: यही रचना 90° के प्रारंभिक कोण के साथ करने पर वर्ग मिलता है, अत: वर्ग वास्तव में एक विशेष कोण वाला समचतुर्भुज ही है।

प्र3.

हमने जो समचतुर्भुज ABCD बनाया है उसके अन्य कोणों का माप ज्ञात कीजिए? यह ज्ञात करने के लिए तर्क दीजिए या प्रयोग कीजिए।

उत्तर

50°, 130°, 50° तथा 130°।

निगमन 9 पहले यह दिखाता है कि किसी भी समचतुर्भुज में एक विकर्ण जिन दो कोणों से मिलता है उन्हें चार समान भागों में बाँट देता है। इसे ABCD पर लागू कीजिए, जहाँ ∠A = 50° है और विकर्ण BD चार समान कोण a बनाता है।

∆ADB में: a + a + 50 = 180
2a = 130 ⇒ a = 65°

∠B = ∠D = a + a = 65 + 65 = 130°
∠C = ∠A = 50°
जाँच: 50 + 130 + 50 + 130 = 360° ✓

एक दूसरा, शीघ्र मार्ग भी है। प्रत्येक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, अत: आसन्न कोण संपूरक होते हैं —

∠A = ∠C = 50° तथा ∠D = ∠B = 180 – 50 = 130°

दोनों मार्ग एक ही उत्तर क्यों देते हैं: देने ही चाहिए — समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है (उसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर हैं, जैसा निगमन 9 के समान एकांतर कोण दर्शाते हैं), अत: समांतर चतुर्भुज के नियम लागू होते हैं। दो स्वतंत्र तर्कों से एक ही उत्तर मिलना दोनों की जाँच है।

प्र4.

∆GAE ≅ ∆MAE यह कैसे ज्ञात किया जा सकता है?

उत्तर

विकर्ण AE को उभयनिष्ठ भुजा मानकर SSS नियम से।

GA = MA (समचतुर्भुज GAME की सभी भुजाएँ समान हैं)
GE = ME (इसी कारण)
AE = AE (उभयनिष्ठ भुजा)
⇒ SSS नियम से ∆GAE ≅ ∆MAE

इस सर्वांगसमता से ∠G = ∠M मिलता है तथा A का कोण उसी प्रकार बँटता है जैसे E का। साथ ही दोनों समद्विबाहु त्रिभुजों GAE तथा MAE से —

GE = GA ⇒ a = d ME = MA ⇒ b = c
सर्वांगसमता ⇒ a = b तथा c = d
⇒ a = b = c = d

इससे गुण 5 कैसे मिलता है: a = b का अर्थ है कि विकर्ण AE, A पर बने कोण को दो समान भागों में बाँटता है, और c = d वही बात E पर कहता है। 'समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों को समद्विभाजित करते हैं' का यही अर्थ है। इसी से EM ∥ GA तथा GE ∥ AM भी मिलता है, क्योंकि ये समान भाग एकांतर कोण हैं — अत: प्रत्येक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

प्र5.

इस प्रकार एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है एवं एक आयत भी एक समांतर चतुर्भुज होता है। इसे एक वेन आरेख का प्रयोग करके कैसे दर्शाया जा सकता है? इस आरेख में वर्गों का समूह कहाँ होगा?

उत्तर

समांतर चतुर्भुजों के लिए एक बड़ा अंडाकार बनाइए। उसके भीतर दो अतिव्यापी अंडाकार — आयत तथा समचतुर्भुज। वर्ग ठीक उनके उभयनिष्ठ भाग में आते हैं।

वर्ग ठीक वही चतुर्भुज है जो आयत भी है और समचतुर्भुज भी।

क्षेत्र	वहाँ क्या है
केवल आयत	सभी कोण 90°, पर सभी भुजाएँ समान नहीं
केवल समचतुर्भुज	सभी भुजाएँ समान, पर कोण 90° नहीं
उभयनिष्ठ भाग	वर्ग — सभी कोण 90° तथा सभी भुजाएँ समान
दोनों से बाहर, बड़े अंडाकार के भीतर	सामान्य झुका हुआ समांतर चतुर्भुज

वर्ग उभयनिष्ठ भाग में ही क्यों: वर्ग एक आयत है (सभी कोण 90°) और समचतुर्भुज भी (सभी भुजाएँ समान)। इसके विपरीत, उभयनिष्ठ भाग की प्रत्येक आकृति के सभी कोण 90° तथा सभी भुजाएँ समान होंगी, जो कि वर्ग की परिभाषा ही है। अत: वह भाग केवल वह जगह नहीं जहाँ वर्ग पड़ जाते हैं — वह भाग वर्गों का समूह है।

प्र6.

क्या एक समचतुर्भुज के विकर्ण समान लंबाई के होते हैं?

उत्तर

नहीं, सामान्यत: नहीं। वे तभी समान होते हैं जब समचतुर्भुज संयोगवश वर्ग हो।

50° तथा 130° कोणों वाले समचतुर्भुज में 130° वाले दोनों कोनों को जोड़ने वाला विकर्ण 50° वाले कोनों को जोड़ने वाले विकर्ण से बहुत छोटा है। समचतुर्भुज को और चपटा कीजिए तो एक विकर्ण बढ़ता है और दूसरा घटता है, जबकि चारों भुजाएँ वही रहती हैं।

विकर्ण समान + एक-दूसरे को समद्विभाजित ⇒ सभी कोण 90° (निगमन 3)
सभी कोण 90° वाला समचतुर्भुज = वर्ग

भुजाएँ विकर्णों को नियंत्रित क्यों नहीं कर पातीं: समचतुर्भुज एक लचीली संरचना है। चार छड़ें भुजाएँ तो बाँध देती हैं पर एक स्वतंत्रता — कोण — शेष रह जाती है, और उस कोण के बदलने पर दोनों विकर्ण विपरीत दिशाओं में चलते हैं। केवल 90° पर ही वे बराबर होते हैं।

संकेत: समचतुर्भुज के पास जो गुण हैं वे हैं — गुण 4 (विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं), गुण 5 (कोणों को समद्विभाजित करते हैं) तथा गुण 6 (90° पर मिलते हैं)। 'समान लंबाई' इस सूची में नहीं है।

प्र7.

क्या एक समचतुर्भुज के विकर्ण किसी विशेष कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं? समचतुर्भुज GAME में हमें ∆GEO ≅ ∆MEO क्यों प्राप्त होता है?

उत्तर

हाँ — सदैव 90° पर।

∆GEO ≅ ∆MEO क्यों: विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (प्रत्येक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है), अत: O, GM का मध्यबिंदु है।

GE = ME (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
GO = MO (O, GM का मध्यबिंदु है)
EO = EO (उभयनिष्ठ भुजा)
⇒ SSS नियम से ∆GEO ≅ ∆MEO

निगमन 10. सर्वांगसमता से ∠GOE = ∠MOE। ये दोनों कोण सरल रेखा GM पर हैं, अत: रैखिक युग्म बनाते हैं —

∠GOE + ∠MOE = 180°
2 × ∠GOE = 180° ⇒ ∠GOE = 90°

यही गुण 6 — समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को 90° के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।

ऐसा क्यों होता है: E, G तथा M से समान दूरी पर है, और O भी। जो दो बिंदु G तथा M दोनों से समान दूरी पर हों वे GM का लंब समद्विभाजक निर्धारित करते हैं — और EO वही रेखा है। लंब समद्विभाजक का अर्थ ही है 'मध्यबिंदु से होकर, समकोण पर'।

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