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गणित प्रकाश अध्याय 4 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
गुण 1 — पतंग ABCD में विकर्ण BD — (i) ∠ABC और ∠ADC को समद्विभाजित करता है। (ii) विकर्ण AC को समद्विभाजित करता है अर्थात AO = OC है। इसके साथ AC पर लंबवत भी है। संकेत — क्या ∆AOB ≅ ∆COB?
उत्तर

पतंग ABCD में AB = BC तथा CD = DA है। माना विकर्ण O पर मिलते हैं।

चरण 1 — विकर्ण BD पतंग को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटता है।

AB = CB  (दिया है)
AD = CD  (दिया है)
BD = BD  (उभयनिष्ठ)
⇒ SSS नियम से ∆ABD ≅ ∆CBD
⇒ ∠ABD = ∠CBD तथा ∠ADB = ∠CDB

यही भाग (i) है — BD, ∠ABC तथा ∠ADC दोनों को समद्विभाजित करता है।

चरण 2 — अब ∆AOB तथा ∆COB की तुलना कीजिए।

AB = CB  (दिया है)
∠ABO = ∠CBO  (अभी सिद्ध किया)
BO = BO  (उभयनिष्ठ)
⇒ SAS नियम से ∆AOB ≅ ∆COB
⇒ AO = OC  तथा  ∠AOB = ∠COB

परंतु ∠AOB + ∠COB = 180°  (AC पर रैखिक युग्म)
⇒ ∠AOB = ∠COB = 90°

अत: BD, AC को समद्विभाजित करता है और उस पर लंबवत भी है — भाग (ii)।

केवल एक ही विकर्ण में ये शक्तियाँ क्यों हैं: B तथा D दोनों A व C से समान दूरी पर हैं, अत: दोनों AC के लंब समद्विभाजक पर स्थित हैं — और BD वही लंब समद्विभाजक है। A तथा C के लिए ऐसा कुछ नहीं है, इसीलिए AC सामान्यत: BD को समद्विभाजित नहीं करता।
संकेत: समचतुर्भुज में आसन्न भुजाओं के दोनों युग्म समान होते हैं, अत: दोनों विकर्णों को ये गुण मिल जाते हैं। इसीलिए समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित भी करते हैं, कोणों को भी समद्विभाजित करते हैं और 90° पर मिलते भी हैं।
प्र2.
एक समलंब चतुर्भुज की रचना कीजिए। इसके आधार कोणों (आकृति में अंकित) को भी मापिए। क्या आप शेष कोणों को मापे बिना ज्ञात कर सकते हैं?
उत्तर

हाँ। समलंब चतुर्भुज PQRS में PQ ∥ SR है, अत: प्रत्येक तिरछी भुजा दोनों समांतर भुजाओं के लिए तिर्यक रेखा है और उसके दोनों सिरों के कोण एक ही ओर के अंत:कोण हैं।

गुण 1: ∠S + ∠P = 180°  तथा  ∠R + ∠Q = 180°

अत: दोनों आधार कोण ∠P तथा ∠Q मापिए और फिर घटा दीजिए —

∠S = 180° – ∠P     ∠R = 180° – ∠Q

उदाहरण के लिए यदि ∠P = 70° तथा ∠Q = 55° मापें, तो ∠S = 110° तथा ∠R = 125°। जाँच: 70 + 55 + 110 + 125 = 360° ✓

समांतर भुजाओं का केवल एक युग्म ही क्यों पर्याप्त है: एक ही ओर के अंत:कोणों वाला नियम प्रत्येक तिरछी भुजा पर अलग-अलग लागू होता है, और प्रत्येक तिरछी भुजा दोनों समांतर भुजाओं को छूती है। असमांतर युग्म कुछ नया नहीं देता — इसीलिए समांतर चतुर्भुज के विपरीत, समलंब चतुर्भुज के सम्मुख कोण सामान्यत: समान नहीं होते।
स्वयं जाँचिए: ∠R तथा ∠S की गणना के बाद उन्हें चाँदे से मापिए। एक डिग्री के भीतर मेल मिलेगा — यह मापन की त्रुटि है, तर्क की नहीं।
प्र3.
हम समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज की रचना किस प्रकार करते हैं? एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज UVWX की रचना कीजिए जिसमें UV || XW हो। इसके ∠U को मापिए। क्या आप बिना मापे शेष कोणों का मान ज्ञात कर सकते हैं?
उत्तर

रचना।

  1. लंबी समांतर भुजा UV खींचिए।
  2. अपेक्षित ऊँचाई पर UV के समांतर एक रेखा खींचिए।
  3. उस रेखा पर X तथा W इस प्रकार अंकित कीजिए कि UX = VW हो। सरलतम उपाय यह है कि आकृति को UV के लंब समद्विभाजक के परित: सममित रखिए — X तथा W को दोनों सिरों से समान दूरी पर लीजिए।
  4. UX तथा VW मिलाइए।

बिना मापे शेष ज्ञात करना। ∠U एक बार मापिए। फिर —

∠V = ∠U  (समान भुजाओं के सम्मुख कोण — गुण 2)
∠X = 180° – ∠U  (भुजा UX पर एक ही ओर के अंत:कोण)
∠W = 180° – ∠V = ∠X

यदि ∠U = 72° हो, तो ∠V = 72°, ∠X = ∠W = 108°, और 72 + 72 + 108 + 108 = 360° ✓

एक ही मापन क्यों पर्याप्त है: समलंब चतुर्भुज एक संबंध देता है (एक ही ओर के अंत:कोणों का योग 180°) और समान भुजाएँ दूसरा (∠U = ∠V)। दो संबंध तथा 360° का योग मिलकर केवल एक अज्ञात छोड़ते हैं, अत: एक मापा हुआ कोण सब कुछ निर्धारित कर देता है।
प्र4.
क्या ऐसा प्रतीत होता है कि समान भुजाओं के एक ही ओर बनने वाले सम्मुख कोण ∠U और ∠V भी समान हैं? क्या हम यहाँ सर्वांगसम त्रिभुज को ज्ञात कर सकते हैं? UV के लंबवत रेखाखंड XY और WZ पर विचार कीजिए। XWZY किस प्रकार का चतुर्भुज है?
उत्तर

XWZY एक आयत है, और यही सर्वांगसम त्रिभुज उपलब्ध कराता है।

X तथा W से UV पर लंब XY तथा WZ डालिए।

XW ∥ UV  (दिया है), अत: YZ तिर्यक रेखा है
a = 180° – ∠XYZ = 180° – 90° = 90°
b = 180° – ∠WZY = 180° – 90° = 90°
अत: XWZY के चारों कोण 90° के हैं ⇒ XWZY एक आयत है

आयत होने के कारण उसकी सम्मुख भुजाएँ समान हैं, अत: XY = WZ — दोनों लंब समान लंबाई के हैं।

∆UXY तथा ∆VWZ में:
UX = VW  (समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज की समान भुजाएँ)
XY = WZ  (आयत XWZY की सम्मुख भुजाएँ)
∠UYX = ∠VZW = 90°
⇒ त्रिभुज सर्वांगसम हैं (RHS) ⇒ ∠U = ∠V
लंब ही मुख्य विचार क्यों हैं: ∠U तथा ∠V आकृति के दोनों छोरों पर हैं और उनके बीच कोई कड़ी नहीं। दोनों लंब डालने से बीच में एक आयत बन जाता है, और वही आयत वह एक समता (XY = WZ) दे देता है जिससे दोनों छोरों के त्रिभुज सर्वांगसम बन जाते हैं।
प्र5.
अब दर्शाया जा सकता है कि ∆UXY ≅ ∆VWZ (कैसे)?
उत्तर

ऊपर स्थापित आयत XWZY का उपयोग करते हुए RHS (समकोण–कर्ण–भुजा) नियम से।

∠XYU = ∠WZV = 90°  (XY तथा WZ, UV पर लंब खींचे गए थे)
UX = VW  (कर्ण — समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज की समान असमांतर भुजाएँ)
XY = WZ  (एक-एक भुजा, आयत XWZY की सम्मुख भुजाएँ)
⇒ ∆UXY ≅ ∆VWZ

अत: ∠U = ∠V  तथा UY = VZ भी

यही गुण 2 — समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।

UY = VZ भी क्यों महत्त्वपूर्ण है: यह बताता है कि दोनों तिरछे छोर हर ओर बराबर-बराबर बाहर निकले हुए हैं। समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के सममित होने का ठीक यही अर्थ है — UV तथा XW के मध्यबिंदुओं से होकर जाने वाली उसकी एक सममिति रेखा होती है।
संकेत: यही आकृति यह भी दिखा देती है कि समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के विकर्ण समान होते हैं: UX = VW, ∠U = ∠V तथा UV उभयनिष्ठ होने से SAS द्वारा ∆UXV ≅ ∆VWU, अत: XV = WU।
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