गणित प्रकाश अध्याय 5 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

विभाजित किए बिना ज्ञात कीजिए कि क्या दी गई संख्याएँ 9 से विभाज्य हैं। (i) 123 (ii) 405 (iii) 8888 (iv) 93547 (v) 358095

उत्तर

केवल (ii) 405, 9 से विभाज्य है।

संख्या	अंकों का योगफल	एक अंक तक	9 से विभाज्य?
123	1 + 2 + 3 = 6	6	नहीं (शेषफल 6)
405	4 + 0 + 5 = 9	9	हाँ
8888	8 + 8 + 8 + 8 = 32	3 + 2 = 5	नहीं (शेषफल 5)
93547	9 + 3 + 5 + 4 + 7 = 28	2 + 8 = 10 → 1	नहीं (शेषफल 1)
358095	3 + 5 + 8 + 0 + 9 + 5 = 30	3 + 0 = 3	नहीं (शेषफल 3)

संकेत: जोड़ते समय 9 को तथा 9 बनाने वाले युग्मों को छोड़ दीजिए। 358095 में 9 हटाइए, 3 + 5 + 8 + 5 = 21, फिर 2 + 1 = 3 — वही उत्तर, कम श्रम।

प्र2.

9 का सबसे छोटा गुणज ज्ञात कीजिए जिसमें कोई विषम अंक न हो।

उत्तर

सबसे छोटा ऐसा गुणज 288 है।

प्रयोग करने योग्य अंक: 0, 2, 4, 6, 8 — सभी सम
सम अंकों का योग सम होता है
अत: अंकों का योगफल 9 का सम गुणज होना चाहिए → 18, 36, …

दो अंक? अधिकतम संभव अंक-योग 8 + 8 = 16 है, जो 18 से कम है। असंभव।

तीन अंक? सैकड़े का अंक जितना छोटा हो सके, फिर दहाई का—

सैकड़े का अंक 2 → शेष दो सम अंकों का योग 16 होना चाहिए
केवल 8 + 8 = 16 संभव है
→ 288

जाँच: 2 + 8 + 8 = 18, जो 9 का गुणज है, और 288 = 9 × 32 ✓। प्रत्येक अंक सम है ✓। इससे छोटा कुछ भी संभव नहीं, क्योंकि सभी अंक सम रखते हुए 288 से छोटी संख्या या तो दो अंकों की होगी या 2 से आरंभ होकर 8, 8 को बाध्य करेगी।

प्र3.

9 का वह गुणज ज्ञात कीजिए जो संख्या 6000 के सबसे समीप हो।

उत्तर

सबसे समीप गुणज 6003 है।

6 + 0 + 0 + 0 = 6, अत: 6000, 9 के किसी गुणज से 6 अधिक है
ठीक नीचे का गुणज: 6000 – 6 = 5994 (= 9 × 666)
ठीक ऊपर का गुणज: 5994 + 9 = 6003 (= 9 × 667)

6000 – 5994 = 6 6003 – 6000 = 3

6003 केवल 3 की दूरी पर है, अत: दोनों में यही अधिक समीप है।

संकेत: अंकों के योगफल ने बिना किसी भाग के शेषफल बता दिया। जब भी शेषफल 4½ से अधिक हो, ऊपर वाला गुणज ही अधिक समीप होगा।

प्र4.

4300 व 4400 संख्याओं के बीच 9 के कितने गुणज हैं?

उत्तर

इनकी संख्या 11 है।

4 + 3 + 0 + 0 = 7, अत: 4300, 9 के किसी गुणज से 7 अधिक है
4300 से ऊपर 9 का पहला गुणज: 4300 + (9 – 7) = 4302 = 9 × 478
4400 से नीचे 9 का अंतिम गुणज: 4 + 4 + 0 + 0 = 8, अत: 4400 – 8 = 4392 = 9 × 488

गणना = 488 – 478 + 1 = 11

ये ग्यारह संख्याएँ हैं — 4302, 4311, 4320, 4329, 4338, 4347, 4356, 4365, 4374, 4383, 4392।

11 ही क्यों, 100 ÷ 9 ≈ 11.1 क्यों नहीं: 100 क्रमागत संख्याओं के किसी भी अंतराल में 9 के या तो 11 गुणज होते हैं या 12, यह इस पर निर्भर करता है कि अंतराल कहाँ से आरंभ होता है। पहला और अंतिम गुणज ठीक-ठीक निकाल लेना ही सुरक्षित तरीका है।

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