गणित प्रकाश अध्याय 5 पाठ्य प्रश्न (2026-27)

प्र1.

क्या बड़ी संख्याओं के साथ ऐसा होगा?

उत्तर

हाँ — प्रत्येक स्थानीय मान के लिए, चाहे वह कितना ही बड़ा हो। प्रतिरूप यही तो कहता है—

1 = 0 + 1
10 = 9 + 1
100 = 99 + 1
1000 = 999 + 1
10000 = 9999 + 1, और इसी प्रकार आगे भी

प्रत्येक स्थानीय मान 9 के किसी गुणज से 1 अधिक है, अत: प्रत्येक अंक शेषफल में ठीक अपने आप का योगदान देता है। 7309 लीजिए—

7 × 1000 + 3 × 100 + 0 × 10 + 9 × 1
= 7 × (999 + 1) + 3 × (99 + 1) + 0 × (9 + 1) + 9 × (0 + 1)
= (7 × 999 + 3 × 99 + 0 × 9 + 9 × 0) + (7 + 3 + 0 + 9)
= (9 का एक गुणज) + 19

अब 19 को भी इसी प्रकार छोटा कीजिए: 1 + 9 = 10, फिर 1 + 0 = 1। अत: 7309, 9 के एक गुणज से 1 अधिक है और 7309 ÷ 9 से शेषफल 1 प्राप्त होता है।

जाँच: 7309 = 9 × 812 + 1 = 7308 + 1 ✓

संकेत: स्मरण रखने योग्य नियम — कोई संख्या 9 से केवल तभी विभाज्य होगी यदि उसके अंकों का योगफल 9 से विभाज्य हो, और अंकों को बार-बार जोड़कर एक अंक तक लाने पर वही शेषफल मिलता है (जहाँ 9 का अर्थ शेषफल 0 है)।

प्र2.

निम्न कथनों में से प्रत्येक कथन को देखिए। कौन-से कथन सही हैं और क्यों? (i) यदि कोई संख्या 9 से विभाज्य है तो इसके अंकों का योगफल 9 से विभाज्य होगा। (ii) यदि किसी संख्या के अंकों का योगफल 9 से विभाज्य है तो यह संख्या 9 से विभाज्य होगी। (iii) यदि कोई संख्या 9 से अविभाज्य है तो इसके अंकों का योगफल 9 से अविभाज्य होगा। (iv) यदि किसी संख्या के अंकों का योगफल 9 से अविभाज्य है तो यह संख्या 9 से अविभाज्य होगी।

उत्तर

चारों कथन सही हैं।

सब कुछ इसी पृष्ठ पर स्थापित एक तथ्य से निकलता है—

N = (9 का एक गुणज) + (N के अंकों का योगफल)
अत: N और उसके अंकों का योगफल 9 से भाग देने पर समान शेषफल देते हैं

कथन	रूप	सही?
(i) संख्या 9 से विभाज्य ⇒ अंक-योग 9 से विभाज्य	एक दिशा	हाँ
(ii) अंक-योग 9 से विभाज्य ⇒ संख्या 9 से विभाज्य	(i) का विलोम	हाँ
(iii) संख्या 9 से अविभाज्य ⇒ अंक-योग 9 से अविभाज्य	(ii) का प्रतिधनात्मक	हाँ
(iv) अंक-योग 9 से अविभाज्य ⇒ संख्या 9 से अविभाज्य	(i) का प्रतिधनात्मक	हाँ

चारों सही क्यों हैं: कोई कथन और उसका प्रतिधनात्मक रूप सदैव साथ-साथ सत्य या साथ-साथ असत्य होते हैं, अत: (iii), (ii) पर टिका है और (iv), (i) पर। जो स्वत: सिद्ध नहीं है वह यह है कि (i) और (ii) दोनों सत्य हैं — प्राय: कोई कथन और उसका विलोम साथ नहीं चलते। यहाँ चलते हैं, क्योंकि शेषफल बराबर हैं, केवल संबंधित नहीं।

स्वयं जाँचिए: 405 → 9 ✓ और 405 = 9 × 45 ✓ (यहाँ (i) व (ii) दोनों लागू)। 8888 → 32 ✗ और 8888 = 9 × 987 + 5 ✗ (यहाँ (iii) व (iv) दोनों लागू)।