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गणित प्रकाश अध्याय 5 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
क्या हम कह सकते हैं कि किसी भी क्रम में केवल ‘0’ और ‘9’ अंकों से बनी संख्या सदैव 9 से विभाज्य होगी?
उत्तर

हाँ। यदि प्रत्येक अंक 0 या 9 है तो विस्तारित रूप में प्रत्येक पद 9 का गुणज होगा।

99009 = 9 × 10000 + 9 × 1000 + 0 × 100 + 0 × 10 + 9 × 1
= 9 × (10000 + 1000 + 1)
= 9 × 11001 = 99009 ✓

90, 909, 9900, 90909, 999000 के लिए भी यही होता है — 9 को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालिए और शेष एक पूर्ण संख्या बचती है।

संकेत: यह संक्षिप्त विधि 9 के कुछ गुणज पहचानती है, सभी नहीं — 18, 27, 36 और 405 भी 9 के गुणज हैं जिनमें कोई 9 दिखाई नहीं देता। 2, 5 व 10 के विपरीत, केवल इकाई अंक देखकर 9 के गुणज की पहचान नहीं हो सकती: 99 और 109 दोनों 9 पर समाप्त होते हैं, किंतु केवल 99, 9 का गुणज है।
प्र2.
क्या 10, 9 से विभाज्य है? यदि नहीं, तो शेषफल क्या है? 10 के अन्य गुणजों (10, 20, 30, ...) की 9 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।
उत्तर

नहीं — 10 में शेषफल 1 प्राप्त होता है, क्योंकि 10 = 9 + 1।

10 का गुणज102030405060708090
9 से भाग पर शेषफल123456780

अत: 10 के किसी भी गुणज के लिए शेषफल दहाई की संख्या के समान होता है।

ऐसा क्यों होता है: 10 = 9 + 1, अत: b दहाई अर्थात 10b = 9b + b। 9b वाला भाग 9 के पूरे-पूरे समूह बनाकर समाप्त हो जाता है और b शेष बचता है। (b = 9 पर शेष 9 स्वयं एक और पूरा समूह बना लेता है, इसीलिए 90 में शेषफल 0 है।)
प्र3.
इसी प्रकार जब 100 के गुणजों (100, 200, 300, …) को 9 से विभाजित किया जाता है तो शेषफलों को देखिए। आपने क्या अवलोकन किया?
उत्तर

शेषफल सैकड़ों की संख्या के समान होता है।

100 का गुणज100200300400500700900
9 से भाग पर शेषफल1234570
100 = 99 + 1, और 99, 9 का गुणज है
अत: 100c = 99c + c → शेषफल c

700 की जाँच: 700 = 693 + 7, और 693 = 9 × 77 ✓ अत: शेषफल 7 है।

क्या आपने देखा? दहाई ने ऐसा व्यवहार इसलिए किया क्योंकि 10 = 9 + 1; सैकड़ा ऐसा व्यवहार इसलिए करता है क्योंकि 100 = 99 + 1। यही युक्ति अब प्रत्येक स्थानीय मान के लिए काम करने वाली है।
प्र4.
इस अवलोकन का उपयोग करके 427 को 9 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर

शेषफल 4 है।

427 में 4 सैकड़े → शेषफल में 4 का योगदान
427 में 2 दहाई → शेषफल में 2 का योगदान
427 में 7 इकाई → शेषफल में 7 का योगदान
कुल शेष = 4 + 2 + 7 = 13
13 से 9 का एक और समूह बनता है, शेष 4

जाँच: 427 = 9 × 47 + 4 = 423 + 4 ✓

ऐसा क्यों होता है: 400 = 396 + 4 और 20 = 18 + 2, जहाँ 396 व 18 दोनों 9 के गुणज हैं। अत: 427 = (396 + 18) + (4 + 2 + 7) — 9 का एक बड़ा गुणज और अंकों का योगफल। शेषफल केवल अंकों का योगफल ही दे सकता है।
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