प्र1.
3 से विभाज्यता की संक्षिप्त विधि को ज्ञात करना 9 से विभाज्यता की विधि के समान है। कोई संख्या 3 से विभाज्य है यदि इसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। जब 10 की घातें 3 से विभाजित की जाती हैं तो शेषफल ज्ञात कीजिए। व्याख्या कीजिए कि यह विधि कैसे कार्य करती है।
उत्तर
10 की प्रत्येक घात को 3 से भाग देने पर शेषफल 1 प्राप्त होता है।
| 10 की घात | इस रूप में | 3 से भाग पर शेषफल |
|---|---|---|
| 1 | 0 + 1 | 1 |
| 10 | 9 + 1 = 3 × 3 + 1 | 1 |
| 100 | 99 + 1 = 3 × 33 + 1 | 1 |
| 1000 | 999 + 1 = 3 × 333 + 1 | 1 |
| 10000 | 9999 + 1 = 3 × 3333 + 1 | 1 |
यह विधि कैसे कार्य करती है: 9, 99, 999, 9999 सभी 9 के गुणज हैं — और चूँकि 9 स्वयं 3 का गुणज है, अत: ये सभी 3 के भी गुणज हैं। संख्या को पूर्ववत तोड़ने पर—
… + 1000d + 100c + 10b + a
= (999d + 99c + 9b) + (d + c + b + a)
पहला कोष्ठक 3 का गुणज है, अत: संख्या और उसके अंकों का योगफल 3 से भाग देने पर समान शेषफल देते हैं।= (999d + 99c + 9b) + (d + c + b + a)
उदाहरण: 15 → 1 + 5 = 6 ✓ और 15 = 3 × 5
87 → 8 + 7 = 15 ✓ और 87 = 3 × 29
429714 → 4+2+9+7+1+4 = 27 ✓ और 429714 = 3 × 143238
87 → 8 + 7 = 15 ✓ और 87 = 3 × 29
429714 → 4+2+9+7+1+4 = 27 ✓ और 429714 = 3 × 143238
संकेत: इससे यह भी स्पष्ट होता है कि 9 का प्रत्येक गुणज 3 का गुणज क्यों है, किंतु उलटा क्यों नहीं। 15, 33 व 87 के अंक-योग 6, 6 व 15 हैं — 3 से विभाज्य, 9 से नहीं।