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गणित प्रकाश अध्याय 5 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
यदि यह अंतर 11 हो या 11 का कोई गुणज हो तो संख्या को 11 से विभाजित करने पर मिलने वाले शेषफल के विषय में यह क्या दर्शाता है?
उत्तर

शेषफल 0 होगा — संख्या 11 से पूर्णत: विभाज्य है।

पुस्तक के उदाहरण 320185 में:
कुल अधिकता = 2 + 1 + 5 = 8, कुल न्यूनता = 3 + 0 + 8 = 11
8 – 11 = – 3 → 11 के गुणज से 3 कम

अब मान लीजिए यह अंतर 11, या 22, या – 11 आता। वह शेष स्वयं 11 के पूरे-पूरे समूह हैं, अत: वह पहले से बने 11 के गुणज में जुड़ जाता है और कुछ भी शेष नहीं बचता।

ऐसा क्यों होता है: संख्या = (11 का एक गुणज) + (अंतर)। यदि अंतर भी 11 का गुणज है तो कुल योग 11 के एक गुणज और 11 के एक अन्य गुणज का योग है — जो उसी नियम से 11 का ही गुणज है कि a | M और a | N से a | M + N।
संकेत: यदि अंतर ऋणात्मक आए तो उसमें 11 (या 11 का कोई गुणज) जोड़कर शेषफल पढ़िए। – 3 का अर्थ है शेषफल 11 – 3 = 8।
प्र2.
इस संक्षिप्त विधि का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए कि क्या दी गई संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं। इसके साथ ही यदि संख्या 11 से अविभाज्य है तो शेषफल ज्ञात कीजिए। (i) 158 (ii) 841 (iii) 481 (iv) 5529 (v) 90904 (vi) 857076
उत्तर

इकाई अंक से आरंभ करके एकांतर ‘+’ और ‘–’ चिह्न लगाइए।

संख्याएकांतर योगमाननिष्कर्ष
(i) 1588 – 5 + 14विभाज्य नहीं; शेषफल 4
(ii) 8411 – 4 + 85विभाज्य नहीं; शेषफल 5
(iii) 4811 – 8 + 4– 3विभाज्य नहीं; शेषफल 8 (= 11 – 3)
(iv) 55299 – 2 + 5 – 57विभाज्य नहीं; शेषफल 7
(v) 909044 – 0 + 9 – 0 + 92211 से विभाज्य
(vi) 8570766 – 7 + 0 – 7 + 5 – 8– 1111 से विभाज्य

वास्तविक भाग द्वारा सत्यापन—

158 = 11 × 14 + 4 ✓   841 = 11 × 76 + 5 ✓
481 = 11 × 43 + 8 ✓   5529 = 11 × 502 + 7 ✓
90904 = 11 × 8264 ✓   857076 = 11 × 77916 ✓
संकेत: (iii) में एकांतर योग ऋणात्मक आया। – r का अर्थ है कि संख्या 11 के गुणज से r कम है, अत: शेषफल 11 – r होगा। (v) में उत्तर 22 है जो 11 का गुणज है, अर्थात शेष 0।
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