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गणित प्रकाश अध्याय 5 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
क्या सभी व्यंजकों की समान समता होने की परिघटना केवल 4 संख्याएँ लेने तक सीमित है? इस विषय में आपका क्या विचार है?
उत्तर

नहीं — यह किसी भी संख्या-गणना के लिए सत्य है। तर्क में कहीं भी ‘चार’ का उपयोग नहीं हुआ था।

n संख्याओं a₁ ± a₂ ± … ± aₙ के लिए
2ⁿ⁻¹ व्यंजक बनते हैं,
और एक चिह्न बदलने पर मान 2aᵢ से बदलता है — जो अब भी सम है

अत: सभी 2n–1 व्यंजकों की समता a₁ + a₂ + … + an जैसी ही होती है।

संख्याएँकितने व्यंजकउभयनिष्ठ समता
3, 4, 52² = 4सम (3 + 4 + 5 = 12)
3, 4, 5, 62³ = 8सम (18)
3, 4, 5, 6, 72⁴ = 16विषम (25)
स्वयं जाँचिए: 3 – 4 + 5 = 4, 3 + 4 – 5 = 2, 3 – 4 – 5 = – 6 — सभी सम, जैसा 3 + 4 + 5 = 12 से अपेक्षित था।
प्र2.
हम जानते हैं कि सम संख्याओं की पहचान कैसे की जाती है। बिना गणना किए ज्ञात कीजिए कि निम्न में से कौन-से अंकगणितीय व्यंजक सम हैं? 43 + 37, 672 – 348, 4 × 347 × 3, 708 – 477, 809 + 214, 119 × 303, 543 – 479, 513³
उत्तर

इनमें से चार सम हैं — 43 + 37, 672 – 348, 4 × 347 × 3 और 543 – 479।

व्यंजकसमता का तर्कसम है?
43 + 37विषम + विषम = समहाँ
672 – 348सम – सम = समहाँ
4 × 347 × 3गुणनफल में गुणनखंड 4 है, अत: वह सम होगाहाँ
708 – 477सम – विषम = विषमनहीं
809 + 214विषम + सम = विषमनहीं
119 × 303विषम × विषम = विषमनहीं
543 – 479विषम – विषम = समहाँ
513³विषम × विषम × विषम = विषमनहीं
बाद में स्वयं जाँचिए: मान क्रमश: 80, 324, 4164, 231, 1023, 36057, 64 व 135005697 हैं। समता के नियमों ने यह सारी गणना किए बिना ही सही उत्तर दे दिया।
प्र3.
विभिन्न संक्रियाओं के अंतर्गत समता कैसे व्यवहार करती है, हमारी इस समझ का उपयोग करके पता लगाइए कि अक्षर-संख्याओं (चर संख्याएँ) के किसी भी पूर्णांक मान के लिए नीचे दिए गए बीजगणितीय व्यंजकों में से किन व्यंजकों का मान एक सम संख्या के रूप में प्राप्त होता है। 2a + 2b, 3g + 5h, 4m + 2n, 2u – 4v, 13k – 5k, 6m – 3n, x² + 2, b² + 1, 4k × 3j
उत्तर

नौ में से पाँच सदैव सम हैं — 2a + 2b, 4m + 2n, 2u – 4v, 13k – 5k तथा 4k × 3j। इन सबमें 2 पूरे व्यंजक का गुणनखंड है।

व्यंजकपुन: लिखने परसदैव सम?
2a + 2b2(a + b)हाँ
3g + 5h—नहीं
4m + 2n2(2m + n)हाँ
2u – 4v2(u – 2v)हाँ
13k – 5k8k = 2(4k)हाँ
6m – 3n3(2m – n)नहीं
x² + 2—नहीं
b² + 1—नहीं
4k × 3j12kj = 2(6kj)हाँ
ऐसा क्यों होता है: जब कोई व्यंजक 2 × (कोई पूर्णांक) के रूप में लिखा जा सके तो अक्षरों के किसी भी मान के लिए 2 उसका गुणनखंड रहेगा। जो चार असफल हैं उनमें ऐसा कोई गुणनखंड नहीं है — प्रत्येक के लिए एक प्रति-उदाहरण पर्याप्त है: g = 1, h = 0 पर 3g + 5h = 3; m = n = 1 पर 6m – 3n = 3; x = 3 पर x² + 2 = 11; b = 2 पर b² + 1 = 5।
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