प्र1.
दो सम संख्याओं का योग कब 4 के गुणज के रूप में प्राप्त होगा? यह समस्या दो संख्याओं को जोड़ने पर परिणामत: एक सम संख्या प्राप्त होने का पता लगाने के प्रश्न के समान है। क्या आप इसे देख सकते हैं?
उत्तर
तभी, जब दोनों 4 के गुणज हों अथवा दोनों में से कोई भी 4 का गुणज न हो। जाँच करने की तीन स्थितियाँ हैं और बीजगणित तीनों का निर्णय कर देता है—
| स्थिति | बीजगणित | 4 का गुणज? | उदाहरण |
|---|---|---|---|
| दोनों 4 के गुणज | 4p + 4q = 4(p + q) | सदैव | 12 + 16 = 28 = 4 × 7 |
| दोनों 4 के गुणज नहीं | (4p + 2) + (4q + 2) = 4(p + q + 1) | सदैव | 6 + 10 = 16 = 4 × 4 |
| एक गुणज, एक नहीं | 4p + (4q + 2) = 4(p + q) + 2 | कभी नहीं | 8 + 10 = 18 = 4 × 4 + 2 |
हाँ, यह वही समस्या एक स्तर ऊपर है। दोनों सारणियों की तुलना कीजिए—
सम + सम = सम ↔ 4p + 4q, 4 का गुणज है
विषम + विषम = सम ↔ (4p + 2) + (4q + 2), 4 का गुणज है
सम + विषम = विषम ↔ 4p + (4q + 2), 4 का गुणज नहीं है
विषम + विषम = सम ↔ (4p + 2) + (4q + 2), 4 का गुणज है
सम + विषम = विषम ↔ 4p + (4q + 2), 4 का गुणज नहीं है
ऐसा क्यों होता है: समता के प्रश्न में प्रत्येक पूर्ण संख्या 2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 देती है और ‘समान शेषफल’ की स्थिति में योग सम होता है। यहाँ प्रत्येक सम संख्या 4 से भाग देने पर शेषफल 0 या 2 देती है और पुन: ‘समान शेषफल’ ही निर्णायक है। संरचना एक ही है — केवल भाजक बदला है।