गणित प्रकाश अध्याय 5 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

4. यदि कोई संख्या 12 से विभाज्य है तो वह संख्या 12 के सभी गुणनखंडों से भी विभाज्य होगी।

उत्तर

सदैव सत्य।

संख्या 12 की गुणज है, मान लीजिए 12m
12m = 2 × 6 × m = 3 × 4 × m = 1 × 12 × m
अत: 1, 2, 3, 4, 6 व 12 प्रत्येक गुणनखंड के रूप में उपस्थित है

सामान्यत:, यदि f, 12 का गुणनखंड है तो किसी पूर्ण संख्या t के लिए 12 = f × t, और तब

12m = (f × t) × m = f × (tm)

24 लीजिए, जो 12 से विभाज्य है। इसके गुणनखंडों में 12 के सभी गुणनखंड सम्मिलित हैं — 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24।

ऐसा क्यों होता है (चित्र से): 12 का कोई गुणज 12-12 की m पंक्तियाँ है। 12 का कोई गुणनखंड एक पंक्ति को पूर्णत: भरता है — अत: वह प्रत्येक पंक्ति को भरता है और इस प्रकार पूरी रचना को बिना कुछ शेष छोड़े भर देता है।

संकेत: सामान्यत: यदि A, k से विभाज्य है, तो A, k के सभी गुणनखंडों से भी विभाज्य होगा।

प्र2.

5. यदि कोई संख्या 7 से विभाज्य है तो वह 7 के किसी भी गुणज से विभाज्य होगी।

उत्तर

कभी-कभी सत्य। 42, 7 से और 14 से विभाज्य है, किंतु 28 से नहीं।

42 = 7 × 6 और 14 = 7 × 2 → 42 ÷ 14 = 3 ✓
42 = 7 × 6 और 28 = 7 × 4 → 42 ÷ 28 = 1.5 ✗

ठीक शर्त बीजगणित से मिल जाती है—

7k, 7m से विभाज्य होगा यदि और केवल यदि m, k का एक गुणनखंड हो
यदि k = ym, तो 7k ÷ 7m = 7ym ÷ 7m = y

42 के लिए k = 6। 6 के गुणनखंड 1, 2, 3, 6 हैं — अत: 42, 7 × 1 = 7, 7 × 2 = 14, 7 × 3 = 21 व 7 × 6 = 42 से विभाज्य है, 7 के किसी अन्य गुणज से नहीं।

संकेत: कथन 3 और कथन 5 दिखने में समान हैं किंतु दिशाएँ विपरीत हैं। संख्या के गुणजों की ओर बढ़ना सदैव कार्य करता है; 7 के अन्य गुणजों की ओर जाना नहीं।

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