EN हिं

गणित प्रकाश अध्याय 5 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
“क्या मैं प्रत्येक प्राकृत संख्या को क्रमागत संख्याओं के योग के रूप में लिख सकता हूँ?”
उत्तर

नहीं। 2 की घातें — 1, 2, 4, 8, 16, 32, … — दो या अधिक क्रमागत प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में नहीं लिखी जा सकतीं। शेष सभी संख्याएँ लिखी जा सकती हैं।

a से आरंभ होने वाली k क्रमागत संख्याओं का योग लिखिए—

a + (a + 1) + … + (a + k – 1)
= ka + (1 + 2 + … + (k – 1))
= ka + k(k – 1)/2
अत: 2N = k(2a + k – 1)
ऐसा क्यों होता है: दोनों गुणनखंडों k और (2a + k – 1) को देखिए। यदि k सम है तो 2a + k – 1 विषम होगा, और यदि k विषम है तो 2a + k – 1 सम होगा। अर्थात इनमें से एक सदैव विषम होता है, और k ≥ 2 के लिए दोनों 1 से बड़े होते हैं। अत: 2N में — और इसलिए N में — 1 से बड़ा कोई विषम गुणनखंड होना ही चाहिए। 2 की घात में ऐसा कोई गुणनखंड नहीं होता।
N1 से बड़ा विषम गुणनखंड?क्रमागत संख्याओं का योग
631 + 2 + 3
773 + 4
8कोई नहींसंभव नहीं
93, 94 + 5 तथा 2 + 3 + 4
16कोई नहींसंभव नहीं
प्र2.
“मैं किन संख्याओं को क्रमागत संख्याओं के योग के रूप में एक से अधिक प्रकार से लिख सकता हूँ?”
उत्तर

वे संख्याएँ जिनके तीन या अधिक विषम गुणनखंड हों। वास्तव में प्रकारों की संख्या विषम गुणनखंडों की संख्या से ठीक एक कम होती है।

15 → विषम गुणनखंड 1, 3, 5, 15 (चार) → 4 – 1 = 3 प्रकार
15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ✓ (यही अंशु ने पाया)
संख्याविषम गुणनखंडप्रकारों की संख्या
71, 71 — केवल 3 + 4
91, 3, 92 — 4 + 5, 2 + 3 + 4
101, 51 — 1 + 2 + 3 + 4
121, 31 — 3 + 4 + 5
451, 3, 5, 9, 15, 455
ऐसा क्यों होता है: प्र.1 से, N को लिखने का प्रत्येक तरीका 2N = k × (2a + k – 1) के ऐसे गुणनखंडन से मेल खाता है जिसमें एक गुणनखंड विषम हो। N का प्रत्येक विषम गुणनखंड (उसे छोड़कर जो k = 1 देता है) ठीक एक ऐसा क्रम बनाता है।
प्र3.
“ओह! मैं समझ गया कि सभी विषम संख्याओं को दो क्रमागत संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है। क्या हम सभी सम संख्याओं को क्रमागत संख्याओं के योग के रूप में लिख सकते हैं?”
उत्तर

अंशु का पहला कथन सरलता से सिद्ध हो जाता है, किंतु उसके प्रश्न का उत्तर नहीं है — सम संख्याएँ 2, 4, 8, 16, 32, … (2 की घातें) इस प्रकार नहीं लिखी जा सकतीं।

कोई भी विषम संख्या = 2n + 1
2n + 1 = n + (n + 1) — दो क्रमागत संख्याएँ
जैसे 35 = 17 + 18, 101 = 50 + 51

कोई सम संख्या दो क्रमागत संख्याओं का योग कभी नहीं हो सकती, क्योंकि n + (n + 1) सदैव विषम होता है। अत: उसके लिए तीन या अधिक संख्याओं का क्रम चाहिए—

6 = 1 + 2 + 3   10 = 1 + 2 + 3 + 4
12 = 3 + 4 + 5   14 = 2 + 3 + 4 + 5
18 = 5 + 6 + 7   20 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6
स्वयं जाँचिए: 8, 16 या 32 को क्रमागत संख्याओं के योग के रूप में लिखने का पूरा प्रयास कीजिए। सफलता नहीं मिलेगी — इनमें 1 से बड़ा कोई विषम गुणनखंड ही नहीं है।
प्र4.
“क्या मैं 0 को भी क्रमागत संख्याओं के योग के रूप में लिख सकता हूँ? संभवत: मुझे ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग करना पड़ेगा।”
उत्तर

हाँ, जब ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग किया जाए। ऐसा कोई भी क्रम लीजिए जो 0 के परित: सममित हो — धनात्मक व ऋणात्मक भाग एक-दूसरे को काट देते हैं।

0 = (–1) + 0 + 1
0 = (–2) + (–1) + 0 + 1 + 2
0 = (–3) + (–2) + (–1) + 0 + 1 + 2 + 3
ऐसा क्यों होता है: –m से m तक के क्रम में प्रत्येक ऋणात्मक संख्या अपने विपरीत के साथ युग्म बनाती है और 0 बीच में रहता है। प्रत्येक युग्म का योग 0 है, अत: पूरा योग 0 है। ध्यान दीजिए कि ऐसे क्रम में पदों की संख्या सदैव विषम (2m + 1) होती है।
प्रयास कीजिए: ऋणात्मक संख्याओं के साथ प्रत्येक संख्या क्रमागत संख्याओं का योग बन जाती है — 8 भी। जैसे 8 = (–7) + (–6) + … + 6 + 7 + 8, क्योंकि –7 से 7 तक सब कट जाता है।
प्र5.
कोई 4 क्रमागत संख्याएँ लीजिए, उदाहरण के लिए 3, 4, 5 और 6। संख्याओं के बीच ‘+’ एवं ‘–’ चिह्न लगाइए। इस प्रकार संख्याओं को लिखने की कितनी विभिन्न संभावनाएँ हो सकती हैं? उन सभी को लिखिए।
उत्तर

आठ संभावनाएँ। चार संख्याओं के बीच 3 रिक्त स्थान हैं और प्रत्येक में दो में से कोई एक चिह्न आ सकता है, अत: कुल 2 × 2 × 2 = 2³ = 8।

व्यंजकमान
3 + 4 + 5 + 618
3 + 4 + 5 – 66
3 + 4 – 5 + 68
3 + 4 – 5 – 6– 4
3 – 4 + 5 + 610
3 – 4 + 5 – 6– 2
3 – 4 – 5 + 60
3 – 4 – 5 – 6– 12

पुस्तक का आरेख इन्हें इसी क्रम में सूचीबद्ध करता है — पहले 4 के पहले का चिह्न, फिर 5 के पहले का, फिर 6 के पहले का।

क्या आपने देखा? आठों मान सम संख्याएँ हैं।
क्या यह उपयोगी रहा? त्रुटि बताएँ