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गणित प्रकाश अध्याय 1 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
सम बहुभुजों के प्रत्येक आकार में भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। आपको कौन-सा संख्या अनुक्रम प्राप्त होता है? कोनों के विषय में आप क्या कहेंगे? क्या वही संख्या अनुक्रम प्राप्त होता है? क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि ऐसा क्यों होता है?
उत्तर
आकारत्रिभुजचतुर्भुजपंचभुजषड्भुजसप्तभुजअष्टभुजनवभुजदशभुज
भुजाएँ345678910
कोने345678910

दोनों पंक्तियों से एक ही अनुक्रम मिलता है — 3 से आरंभ होने वाली गणन संख्याएँ: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …

दोनों गणनाएँ सदैव बराबर क्यों होती हैं: सरल रेखाओं से बनी किसी बंद आकृति की सीमा पर एक बार घूमिए। प्रत्येक भुजा किसी कोने पर समाप्त होती है और प्रत्येक कोने पर ठीक दो भुजाएँ मिलती हैं। अत: भुजाओं और कोनों में एक-से-एक संगति बन जाती है — हर भुजा को उसके अंत वाले कोने से जोड़ा जा सकता है। इसलिए किसी भी बंद आकृति में भुजाओं की संख्या = कोनों (शीर्षों) की संख्या, चाहे वह सम हो या न हो।
प्र2.
संपूर्ण आलेखों के प्रत्येक आकार में रेखाओं की संख्या गिनिए। इससे आपको कौन-सा संख्या अनुक्रम प्राप्त होता है? क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि ऐसा क्यों होता है?
उत्तर
संपूर्ण आलेखK2K3K4K5K6K7
बिंदु234567
रेखाएँ136101521

प्राप्त होता है 1, 3, 6, 10, 15, 21, … — त्रिभुजाकार संख्याओं का अनुक्रम।

ऐसा क्यों होता है: एक आलेख से अगले पर जाइए। K2 (जिसमें 2 बिंदु हैं) में एक नया बिंदु जोड़ने पर उसे उन 2 बिंदुओं से मिलाना पड़ता है, अत: 2 नई रेखाएँ बनती हैं। अगला बिंदु जोड़ने पर 3 नई रेखाएँ, फिर 4, और इसी प्रकार। अत: कुल रेखाएँ—
1,   1 + 2 = 3,   1 + 2 + 3 = 6,   1 + 2 + 3 + 4 = 10 …
जो ठीक गणन संख्याओं के क्रमिक योग, अर्थात् त्रिभुजाकार संख्याएँ हैं।
देखने का दूसरा तरीका: Kn में प्रत्येक n बिंदु शेष (n − 1) बिंदुओं से जुड़ा होता है। इसमें हर रेखा दो बार गिनी जाती है (दोनों सिरों से), अत: रेखाओं की संख्या n × (n − 1) ÷ 2 है। K6 के लिए: 6 × 5 ÷ 2 = 15। ✔
प्र3.
ढेरित (stacked) वर्गों के अनुक्रम के प्रत्येक आकार में कितने छोटे वर्ग हैं? इससे कौन-सा संख्या अनुक्रम प्राप्त होता है? क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि ऐसा क्यों होता है?
उत्तर
1491625
ढेरित वर्ग — 1, 4, 9, 16 और 25 छोटे वर्ग।
1,   4,   9,   16,   25,   36 …

प्राप्त होता है वर्ग संख्याओं का अनुक्रम।

ऐसा क्यों होता है: nवाँ आकार एक बड़ा वर्ग है जिसमें n पंक्तियाँ हैं और प्रत्येक पंक्ति में n छोटे वर्ग। अत: कुल = n × n = n²। जैसे चौथे आकार में 4 पंक्तियाँ × 4 छोटे वर्ग = 16।
प्र4.
ढेरित त्रिभुजों के अनुक्रम के प्रत्येक आकार में कितने छोटे त्रिभुज हैं? इससे कौन-सा संख्या अनुक्रम प्राप्त होता है? क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि ऐसा क्यों होता है? (संकेत— प्रत्येक आकार में, प्रत्येक पंक्ति में कितने त्रिभुज हैं?)
उत्तर
1491625
ढेरित त्रिभुज — ऊपर की ओर और नीचे की ओर मुँह वाले छोटे त्रिभुज मिलाकर गिनिए: 1, 4, 9, 16, 25।
1,   4,   9,   16,   25 …

पुन: वर्ग संख्याओं का अनुक्रम प्राप्त होता है।

ऐसा क्यों होता है (संकेत के अनुसार): छोटे त्रिभुजों को पंक्ति-दर-पंक्ति गिनिए।
पंक्ति 1 → 1 त्रिभुज
पंक्ति 2 → 3 त्रिभुज (2 ऊपर की ओर, 1 नीचे की ओर)
पंक्ति 3 → 5 त्रिभुज (3 ऊपर, 2 नीचे)
पंक्ति 4 → 7 त्रिभुज (4 ऊपर, 3 नीचे)
पंक्तियों में 1, 3, 5, 7, 9 … अर्थात् विषम संख्याएँ हैं। और पृष्ठ 7 से हम जानते हैं कि विषम संख्याओं का योग वर्ग संख्या देता है—
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 × 4
इसीलिए n पंक्तियों वाले ढेरित त्रिभुज में n² छोटे त्रिभुज होते हैं।
प्र5.
कोच हिमकण वाले अनुक्रम में, एक आकार से अगला आकार प्राप्त करने के लिए प्रत्येक रेखाखंड ‘—’ को एक ‘गति उभार’ से प्रतिस्थापित करना पड़ता है। कोच हिमकण के प्रत्येक आकार में कुल कितने रेखाखंड हैं? इनके संगत संख्या अनुक्रम क्या है?
उत्तर

आरंभिक आकार एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें 3 रेखाखंड हैं। हर चरण में प्रत्येक रेखाखंड 4 छोटे खंडों वाले उभार से बदल जाता है, अत: संख्या हर बार 4 से गुणा हो जाती है।

चरणपहलादूसरातीसराचौथापाँचवाँ
रेखाखंड31248192768
गुणनफल के रूप में33 × 43 × 4 × 43 × 4 × 4 × 43 × 4 × 4 × 4 × 4

संख्या अनुक्रम है 3, 12, 48, 192, 768, … अर्थात् 4 की घातों का 3 गुना। (यह अनुक्रम सारणी 1 में नहीं है।)

क्यों: एक खंड → 4 खंड। अत: यदि किसी चरण में k खंड हैं, तो अगले चरण में 4k खंड होंगे। 3 से आरंभ करने पर संख्याएँ 3, 3×4, 3×4², 3×4³, … बनती हैं।
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