निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर ज्ञात करने में सुश्री संध्या की सहायता कीजिए— a. कक्षा में जूतों का अधिकतम साइज ______ है। b. कक्षा में जूतों का न्यूनतम साइज ______ है। c. ______ विद्यार्थी हैं, जो 5 के साइज का जूता पहनते हैं। d. ______ विद्यार्थी हैं, जो 4 से बड़े साइज का जूता पहनते हैं।
उत्तर
सुश्री संध्या ने साइज पहले ही आरोही क्रम में लिख दिए हैं—
a. 7 — क्रमबद्ध सूची की अंतिम संख्या। b. 3 — क्रमबद्ध सूची की पहली संख्या। c. 10 विद्यार्थी 5 साइज का जूता पहनते हैं। d. 15 विद्यार्थी 4 से बड़े साइज का जूता पहनते हैं।
जूतों के साइज के आँकड़े दंड आलेख के रूप में। साइज 5 सबसे अधिक है; साइज 7 केवल एक विद्यार्थी पहनता है।
स्वयं जाँचिए: 3 + 9 + 10 + 4 + 1 = 27, और बोर्ड पर 9 संख्याओं की 3 पंक्तियाँ अर्थात् 27 प्रेक्षण हैं। गिनती सही है।
प्र2.
आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने से उक्त प्रश्नों का उत्तर देने में किस प्रकार की सहायता प्राप्त हुई?
उत्तर
क्रम में व्यवस्थित करने से एक साथ तीन लाभ होते हैं—
न्यूनतम और अधिकतम तुरंत दिख जाते हैं। क्रमबद्ध सूची में ये केवल पहली और अंतिम संख्याएँ हैं — 3 और 7। बिखरे हुए आँकड़ों में सभी 27 संख्याएँ दो बार देखनी पड़तीं।
समान मान एक साथ आ जाते हैं। सभी 5 पास-पास खड़े हैं, इसलिए उन्हें गिनना एक ही बार में हो जाता है, पूरे बोर्ड पर ढूँढ़ना नहीं पड़ता।
“से बड़े” वाले प्रश्न सरल हो जाते हैं। 4 से बड़े सभी मान अंतिम 4 के दाईं ओर हैं — केवल सूची का अंतिम भाग गिनना है।
ऐसा क्यों: क्रम में लगाने से आँकड़े बदलते नहीं — वही 27 प्रेक्षण रहते हैं। केवल उनकी व्यवस्था बदलती है, और अच्छी व्यवस्था उत्तर को छिपाने के बजाय दिखा देती है।
गणित चर्चा: अपने मित्र से 27 बिखरी संख्याओं में सबसे बड़ी संख्या ढूँढ़ने को कहिए और समय देखिए। फिर वही सूची क्रम में दीजिए। चर्चा कीजिए कि दूसरी बार इतना कम समय क्यों लगा।
प्र3.
क्या आँकड़ों को व्यवस्थित करने की अन्य विधियाँ भी हैं?
उत्तर
हाँ — अनेक विधियाँ हैं। प्रत्येक विधि किसी अलग प्रश्न के लिए उपयोगी है—
अवरोही क्रम — 7, 6, 6, 6, 6, 5, 5, … जब सबसे बड़े मान पहले चाहिए हों।
मिलान चिह्नों वाली बारंबारता सारणी — सबसे संक्षिप्त रूप: 27 संख्याओं के स्थान पर केवल पाँच पंक्तियाँ (ऊपर प्रश्न 1 वाली सारणी)।
चित्रालेख — प्रत्येक साइज के सामने प्रत्येक विद्यार्थी के लिए (या हर 2 विद्यार्थियों के लिए) एक प्रतीक।
दंड आलेख — प्रत्येक साइज के लिए एक दंड, जिसकी ऊँचाई विद्यार्थियों की संख्या दर्शाए।
वर्गीकृत सारणी — “छोटे साइज (3–4)”, “बड़े साइज (5–7)”, यदि केवल मोटा चित्र चाहिए।
कौन-सी विधि चुनें: सही गिनती के लिए बारंबारता सारणी, एक दृष्टि में तुलना के लिए दंड आलेख, तथा न्यूनतम, अधिकतम या बीच का मान ज्ञात करने के लिए क्रमबद्ध सूची सबसे अच्छी है। आँकड़े कभी नहीं बदलते — केवल उन्हें देखने का ढंग बदलता है।
प्र4.
कुछ ऐसे पेड़ों के नाम लिखिए जो आप अपने आस-पास वातावरण में देखते हैं। जब आप अपने घर से विद्यालय की ओर जाते हुए कोई पेड़ देखते हैं (या एक स्थान से दूसरे स्थान तक पैदल चलते हुए), तब प्राप्त हुए आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी में भरिए— a. कौन-सा पेड़ अधिकतम संख्या में मिला? b. कौन-सा पेड़ न्यूनतम संख्या में मिला? c. क्या ऐसे दो पेड़ पाए गए, जिनकी संख्याएँ समान थीं?
उत्तर
यह सर्वेक्षण कक्षा के बाहर करना है। एक छोटी कॉपी साथ रखिए और जब भी उस प्रकार का पेड़ मिले, एक मिलान चिह्न लगाइए।
पेड़
मिलान चिह्न
पेड़ों की संख्या
पीपल
|||| |||
8
नीम
|||||||| ||
12
बरगद
||||
4
आम
|||| ||
7
गुलमोहर
||||
4
कुल
—
35
इस नमूना भ्रमण के लिए—
a.नीम सबसे अधिक संख्या में मिला — 12 पेड़।
b.बरगद और गुलमोहर सबसे कम संख्या में मिले — प्रत्येक 4 पेड़।
c. हाँ — बरगद और गुलमोहर की संख्याएँ समान हैं, प्रत्येक 4।
आपकी सारणी में पेड़ और संख्याएँ अलग होंगी, और यह पूर्णत: सही है — उत्तर आपके रास्ते का है।
संकेत: आरंभ करने से पहले रास्ता और दिन तय कर लीजिए तथा सड़क के केवल एक ओर के पेड़ गिनिए। यदि योजना बदलती रहेगी, तो आपके आँकड़ों की तुलना मित्र के आँकड़ों से नहीं हो पाएगी।
प्र5.
एक कोरा कागज लीजिए तथा उस पर एक समाचार पत्र से लिया हुआ कोई एक छोटा समाचार चिपकाइए। प्रत्येक विद्यार्थी एक भिन्न लेख का उपयोग कर सकता है। अब कागज पर नीचे दर्शाए अनुसार एक सारणी तैयार कीजिए। प्रत्येक ऐसे छोटे समाचार के शब्दों में अक्षरों ‘c’, ‘e’, ‘i’, ‘r’ और ‘x’ की संख्याएँ गिनिए तथा निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए। a. सबसे अधिक बार प्राप्त हुआ अक्षर ...... है। b. सबसे कम बार प्राप्त हुआ अक्षर ......... है। c. इन पाँचों अक्षरों ‘c’, ‘e’, ‘i’, ‘r’ और ‘x’ को उनकी बारंबारता के आरोही क्रम में लिखकर सूची बनाइए। अब अपनी सूची के क्रम की कक्षा-सहपाठियों की सूचियों के क्रमों से तुलना कीजिए। क्या आपका क्रम अन्य सहपाठियों के क्रमों के समान है या लगभग समान है? (लगभग प्रत्येक विद्यार्थी द्वारा क्रम ‘c’, ‘e’, ‘i’, ‘r’ और ‘x’ प्राप्त होने की संभावना है!) आपके विचार से ऐसा क्यों है? d. वह प्रक्रिया लिखिए जिसे आपने इस कार्य को पूरा करने में अपनाया है। e. अपने मित्रों के साथ उनके द्वारा अपनाई गई प्रक्रियाओं के बारे में चर्चा कीजिए। f. यदि आप यही कार्य एक अन्य समाचार के साथ करते हैं, तो आप किस प्रक्रिया को अपनाएँगे?
उत्तर
लगभग 120 शब्दों के एक छोटे समाचार के लिए भरी हुई सारणी—
अक्षर
c
e
i
r
x
स्वयं चुना हुआ अक्षर (a)
समाचार में प्राप्त हुए अक्षरों की संख्या
18
72
46
40
1
55
a. दिए गए पाँच अक्षरों में e सबसे अधिक बार प्राप्त हुआ।
b.x सबसे कम बार प्राप्त हुआ।
c. बारंबारता का आरोही क्रम: x, c, r, i, e (1, 18, 40, 46, 72)।
लगभग सबका क्रम एक जैसा क्यों आता है: यह क्रम इस बात पर निर्भर नहीं करता कि आपने कौन-सा समाचार चुना। यह अंग्रेज़ी भाषा पर ही निर्भर करता है। अंग्रेज़ी में e सबसे अधिक आने वाला अक्षर है — यह the, he, be, she तथा -ed, -es, -ment जैसे लगभग सभी अंत्यों में आता है। x सबसे दुर्लभ है — बहुत कम शब्दों में इसका प्रयोग होता है। इसलिए पर्याप्त लंबा कोई भी सामान्य अंग्रेज़ी अंश यही पैटर्न दिखाएगा। यह तथ्य वास्तव में उपयोगी है — गुप्त संकेत-लिपियों (कोड) को इसी आधार पर तोड़ा जाता है और पुराने टाइपराइटरों पर अक्षर इसी क्रम को ध्यान में रखकर लगाए जाते थे।
d. मेरी अपनाई गई प्रक्रिया—
समाचार चिपकाकर उसे एक बार पढ़ा कि वह कितना लंबा है।
प्रत्येक अक्षर के लिए एक स्तंभ वाली सारणी बनाई।
लेख को एक-एक शब्द करके पढ़ा और मिलने वाले प्रत्येक अक्षर के लिए सही स्तंभ में मिलान चिह्न लगाया — पाँच-पाँच के समूहों में।
किसी अक्षर के बड़े और छोटे दोनों रूप एक साथ गिने (E और e), तथा शीर्षक को अलग से नहीं गिना।
मिलान चिह्न गिनकर बारंबारताएँ लिखीं और उन्हें आरोही क्रम में लगाया।
e. अलग-अलग मित्र अलग ढंग से काम करते हैं — कुछ एक-एक अक्षर के लिए पूरा लेख अलग-अलग बार पढ़ते हैं, कुछ गिनते समय पेंसिल से अक्षर काटते जाते हैं, तो कुछ लेख को पंक्ति-दर-पंक्ति गिनते हैं। पाँचों स्तंभ खुले रखकर लेख को एक ही बार पढ़ना सबसे तेज़ है और उसमें गलती भी कम होती है।
f. किसी अन्य समाचार के लिए मैं वही प्रक्रिया अपनाऊँगा/अपनाऊँगी — प्रक्रिया लिखने का यही तो उद्देश्य है। तभी दोनों परिणामों की उचित तुलना हो सकेगी। साथ ही मैं प्रत्येक लेख के शब्दों की संख्या भी लिखूँगा/लिखूँगी, क्योंकि लंबे लेख में गिनतियाँ स्वाभाविक रूप से बड़ी आएँगी।
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