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गणित प्रकाश अध्याय 6 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
हमने देखा कि (a + b)² का विस्तार करने पर हमें क्या प्राप्त होता है। (a – b)² का विस्तारित रूप क्या है?
उत्तर

कोष्ठक को उसी से गुणा कीजिए और वितरण गुणधर्म लगाइए।

(a – b)² = (a – b) × (a – b)
= a² – ba – ab + b²
= a² – 2ab + b²
सर्वसमिका 1B: (a – b)² = a² + b² – 2ab

a = 9, b = 4 पर जाँच: बायाँ पक्ष = 5² = 25; दायाँ पक्ष = 81 + 16 – 72 = 25 ✓

ऐसा क्यों होता है: चारों गुणनफल a·a, a·(–b), (–b)·a और (–b)(–b) हैं। इनमें दो –ab हैं, जिनसे –2ab बनता है; अंतिम +b² है क्योंकि ऋणात्मक × ऋणात्मक = धनात्मक। यह पृष्ठ 146 के चित्र का ही बीजगणितीय रूप है — दो पट्टियाँ घटाइए, कोना वापस जोड़िए।
प्र2.
(a – b)² का विस्तार ज्ञात करने के लिए हम (a + b)² के विस्तार का उपयोग भी कर सकते हैं। विचार कीजिए कि कैसे? संकेत— (a – b)² = (a + (–b))²
उत्तर

घटाना, विपरीत संख्या को जोड़ना ही है, अतः सर्वसमिका 1A इसे पहले से ही सँभाल लेती है।

(a – b)² = (a + (–b))²
= a² + (–b)² + 2 × a × (–b)
= a² + b² – 2ab

इसमें केवल दो बातें प्रयोग हुईं — (–b)² = b² और a × (–b) = –ab।

ऐसा क्यों होता है: सर्वसमिका 1A किन्हीं भी संख्याओं a और b के लिए सिद्ध की गई थी, अतः b के स्थान पर –b रखने की पूरी छूट है। पहली सर्वसमिका से प्रतिस्थापन द्वारा दूसरी निकाल लेना — नए सिरे से आरंभ किए बिना — बीजगणित की एक बड़ी बचत है।
प्र3.
ज्यामिति का उपयोग करके 55² की भाँति (a – b)² का विस्तारित रूप लिखिए।
उत्तर

a भुजा का एक वर्ग बनाइए। उसके एक कोने में (a – b) भुजा का वर्ग अंकित कीजिए।

बड़े वर्ग का क्षेत्रफल = a²
दाईं ओर की पट्टी घटाइए: a × b
नीचे की पट्टी घटाइए: b × a
b × b का कोना दो बार घट चुका है, अतः उसे वापस जोड़िए—
(a – b)² = a² – ab – ba + b² = a² – 2ab + b²
(a – b)² b(a–b) b(a – b) b² a b a
a भुजा का वर्ग (a – b)², b(a – b) की दो पट्टियों और b² के कोने में बँटता है। चूँकि 2b(a – b) + b² = 2ab – b², छायांकित वर्ग a² – 2ab + b² है।

चित्र को उलटा पढ़िए: a² = (a – b)² + 2b(a – b) + b², और 2b(a – b) = 2ab – 2b² रखने पर पुनः (a – b)² = a² – 2ab + b² मिलता है।

प्र4.
सर्वसमिका (a – b)² का उपयोग करके (a) 99² और (b) 58² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर
(a) 99² = (100 – 1)²
= 100² + 1² – 2 × 100 × 1
= 10000 + 1 – 200
= 9801
(b) 58² = (60 – 2)²
= 60² + 2² – 2 × 60 × 2
= 3600 + 4 – 240
= 3364
संकेत: ऐसा विभाजन खोजिए जो “एक गोल संख्या में से एक छोटी संख्या” का हो। 99 या 58 का वर्ग सीधे निकालने में पूरा गुणा करना पड़ता है; इस विधि में केवल दो सरल वर्ग और एक दुगुना करना है।
प्र5.
सर्वसमिका 1B और वितरण गुणधर्म दोनों का उपयोग करके निम्नलिखित का विस्तार कीजिए। (i) (b – 6)² (ii) (–2a + 3)² (iii) (7y – 3⁄4 z)²
उत्तर

(i) (b – 6)²

सर्वसमिका 1B: b² + 6² – 2 × b × 6 = b² – 12b + 36
वितरण गुणधर्म: (b – 6)(b – 6) = b² – 6b – 6b + 36 = b² – 12b + 36 ✓

(ii) (–2a + 3)² — इसे (3 – 2a)² पढ़िए

सर्वसमिका 1B: 3² + (2a)² – 2 × 3 × 2a = 4a² – 12a + 9
वितरण गुणधर्म: (–2a + 3)(–2a + 3) = 4a² – 6a – 6a + 9 = 4a² – 12a + 9 ✓

(iii) (7y – 3⁄4 z)²

सर्वसमिका 1B: (7y)² + (3⁄4 z)² – 2 × 7y × 3⁄4 z
= 49y² – 21⁄2 yz + 9⁄16 z²
वितरण गुणधर्म: 7y(7y – 3⁄4 z) – 3⁄4 z(7y – 3⁄4 z)
= 49y² – 21⁄4 yz – 21⁄4 yz + 9⁄16 z² = 49y² – 21⁄2 yz + 9⁄16 z² ✓

(ii) की जाँच a = 1 पर: (–2 + 3)² = 1 और 4 – 12 + 9 = 1 ✓

संकेत: (ii) में वर्ग करने से पूरे कोष्ठक का चिह्न निरर्थक हो जाता है — (–2a + 3)² और (2a – 3)² बराबर हैं, क्योंकि (–x)² = x²।
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