गणित प्रकाश अध्याय 6 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

सर्वसमिका 1A का उपयोग करके निम्नलिखित के लिए व्यंजक लिखिए? (i) (m + 3)² (ii) (6 + p)²

उत्तर

सर्वसमिका 1A: (a + b)² = a² + 2ab + b²।

(i) (m + 3)² में a = m, b = 3
= m² + 2 × m × 3 + 3²
= m² + 6m + 9

(ii) (6 + p)² में a = 6, b = p
= 6² + 2 × 6 × p + p²
= 36 + 12p + p²

(i) की जाँच m = 4 पर: 7² = 49 और 16 + 24 + 9 = 49 ✓

प्र2.

(6x + 5)² का विस्तारित रूप लिखिए।

उत्तर

वितरण गुणधर्म का प्रयोग

(6x + 5)² = (6x + 5)(6x + 5)
= (6x × 6x) + (5 × 6x) + (6x × 5) + 5 × 5
= (6x)² + 2 (6x × 5) + 5²
= 36x² + 60x + 25

सर्वसमिका का प्रयोग

(6x + 5)² = (6x)² + 5² + 2 × (6x × 5)
= 36x² + 25 + 60x

x = 1 पर जाँच: 11² = 121 और 36 + 60 + 25 = 121 ✓

संकेत: यदि सर्वसमिका स्मरण न रहे तो दोनों कोष्ठकों का सीधा गुणा कर लीजिए। सर्वसमिका वितरण गुणधर्म का संक्षिप्त रूप है, उसका विकल्प नहीं।

प्र3.

सर्वसमिका और वितरण गुणधर्म दोनों का उपयोग करके (3j + 2k)² को विस्तारित कीजिए।

उत्तर

सर्वसमिका 1A से, a = 3j तथा b = 2k लेकर—

(3j + 2k)² = (3j)² + 2(3j)(2k) + (2k)²
= 9j² + 12jk + 4k²

वितरण गुणधर्म से

(3j + 2k)(3j + 2k) = 3j(3j + 2k) + 2k(3j + 2k)
= 9j² + 6jk + 6jk + 4k²
= 9j² + 12jk + 4k²

j = 1, k = 1 पर जाँच: 5² = 25 और 9 + 12 + 4 = 25 ✓

ऐसा क्यों होता है: सर्वसमिका 1A में a और b पूरे पद हैं, केवल अकेले अक्षर नहीं। यहाँ a = 3j है, अतः a² = (3j)² = 9j² और मध्य पद 2 × 3j × 2k = 12jk।

प्र4.

क्या हम 60² (= 3600) और 5² (= 25) का उपयोग करके (60 – 5)² अथवा 55² का मान ज्ञात कर सकते हैं?

उत्तर

हाँ। 60 इकाई भुजा वाले वर्ग के भीतर 55 इकाई भुजा का वर्ग बनाइए।

60² में से दो 60 × 5 के आयत घटाइए। ऐसा करने पर 5 × 5 का छोटा कोना दो बार घट जाता है, अतः उसे एक बार वापस जोड़िए।

(60 – 5)² = 60² – (60 × 5) – (5 × 60) + 5²
= 3600 – 300 – 300 + 25
= 3025 वर्ग इकाई

5 × 5 का कोना दोनों घटाई गई पट्टियों में है, अतः उसे एक बार पुनः जोड़ना पड़ता है।

ऐसा क्यों होता है: दोनों पट्टियाँ एक-दूसरे को ढकती हैं। उन्हें एक के बाद एक घटाने से ढका हुआ भाग दो बार घट जाता है, और सर्वसमिका 1B का “+ b²” ठीक इसी की मरम्मत है। जाँच: 55 × 55 = 3025 ✓

क्या यह उपयोगी रहा? त्रुटि बताएँ