नीचे दी गई आकृति में प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए। इस आकृति में क्रम में आने वाली अगली आकृति बनाइए। इसमें कितने वृत्त हैं? दसवें चरण में आकृति में कुल कितने वृत्त होंगे? चरण k में प्राप्त आकृति में वृत्तों की संख्या के लिए व्यंजक लिखिए।
उत्तर
छपी आकृतियाँ गिनने पर: चरण 1 में 3 वृत्त, चरण 2 में 8 और चरण 3 में 15।
अगली आकृति (चरण 4) वृत्तों का 5 × 5 का ब्लॉक है जिसमें एक कोने का वृत्त नहीं है — 24 वृत्त।
चरण 4: वृत्तों का 5 × 5 वर्ग जिसमें एक कोने का वृत्त नहीं है — 25 – 1 = 24 वृत्त।
चरण k के लिए व्यंजक। प्रत्येक आकृति (k + 1) × (k + 1) का वर्ग है जिसमें से एक वृत्त हटा है—
चरण k = (k + 1)² – 1 = k² + 2k + 1 – 1 = k² + 2k
चरण k
1
2
3
4
10
k² + 2k
3
8
15
24
120
चरण 10 में 10² + 2 × 10 = 120 वृत्त होंगे।
ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक बार आकृति में एक पंक्ति और एक स्तंभ जुड़ता है, अतः उसके “पूरे वर्ग” की भुजा 2, 3, 4, 5, … चलती है — अर्थात चरण k पर k + 1 — और कोने से ठीक एक वृत्त सदा कम रहता है।
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