अद्यतन2026-09-05
| आकृति | टाइल्स की संख्या | दो वर्गों के अंतर के रूप में |
|---|---|---|
| चरण 1 | 8 | 3² – 1² |
| चरण 2 | 12 | 4² – 2² |
| चरण 3 | 16 | 5² – 3² |
संख्याएँ हर बार 4 से बढ़ती हैं: 8, 12, 16, …
सर्वसमिका 1C से दोनों तुरंत मिल जाते हैं—
फ्रेम को देखने के कई तरीके हैं, और सभी एक ही व्यंजक पर पहुँचते हैं।
| देखने का तरीका | व्यंजक | सरल रूप |
|---|---|---|
| बड़ा वर्ग घटा रिक्त वर्ग | (n + 2)² – n² | 4n + 4 |
| चार भुजाएँ, प्रत्येक (n + 1) टाइल की | 4(n + 1) | 4n + 4 |
| दो पूरी पंक्तियाँ + दो छोटे स्तंभ | 2(n + 2) + 2n | 4n + 4 |
| चार भुजाओं की n टाइल + चार कोने | 4n + 4 | 4n + 4 |
जाँच: n = 1 → 8 ✓, n = 2 → 12 ✓, n = 3 → 16 ✓, n = 10 → 44 ✓
दो विद्यार्थी इसे दो प्रकार से देखते हैं और दोनों सही हैं।
तडांग की विधि। पूरी आकृति (m + n) भुजा का वर्ग है और चारों आयत m × n के हैं।
युसुफ की विधि। छायांकित भाग स्वयं एक वर्ग है। ऊपरी भुजा पर (m + n) की लंबाई एक आयत की छोटी भुजा m और उसके बाद उसकी लंबी भुजा n से ढकी है; छायांकित वर्ग वहीं से आरंभ होकर अगले आयत के m से पहले समाप्त होता है, अतः उसकी भुजा (m + n) – m – m = n – m है।
दोनों प्रसार एक ही व्यंजक हैं, अतः दोनों विधियाँ सहमत हैं — और होना भी यही चाहिए, क्योंकि दोनों एक ही भाग को नाप रही हैं।
m = 3, n = 7 पर जाँच: (10)² – 4 × 21 = 100 – 84 = 16 और (7 – 3)² = 16 ✓
तीनों आयत x × y के हैं। तिरछी रेखाओं वाला भाग ऊपर और नीचे की पट्टियों के बीच, बीच वाले आयत के दोनों ओर है।
अनुषा की विधि। ABCD दोनों पट्टियों के बीच x भुजा का वर्ग है; EFGH बीच वाला आयत है, x ऊँचा और y चौड़ा।
वैष्णवी की विधि। पूरी आकृति PQSR की चौड़ाई x है और ऊँचाई QS = y + x + y = x + 2y।
आदित्य की विधि। तिरछी रेखाओं वाला भाग दो बराबर आयत हैं, बीच वाली पट्टी के दोनों ओर एक-एक, प्रत्येक x ऊँचा और (x – y)⁄2 चौड़ा।