गणित प्रकाश अध्याय 6 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

यदि पहली संख्या (23) में 1 की वृद्धि की जाए तो गुणनफल में कितनी वृद्धि होगी?

उत्तर

गुणनफल में 27 की वृद्धि होगी, अर्थात दूसरी संख्या के बराबर।

23 × 27 = 621
24 × 27 = 648
वृद्धि = 648 – 621 = 27

वितरण गुणधर्म से यही बात बिना गुणा किए मिल जाती है—

(23 + 1) × 27 = 23 × 27 + 1 × 27
= 23 × 27 + 27

ऐसा क्यों होता है: 24 × 27 का अर्थ है चौबीस बार 27। इनमें से तेईस बार से 23 × 27 बनता है और चौबीसवाँ एक अतिरिक्त 27 है। पहली संख्या में 1 बढ़ाने पर दूसरी संख्या की एक अतिरिक्त प्रति जुड़ जाती है।

प्र2.

यदि दूसरी संख्या (27) में 1 की वृद्धि की जाए तो गुणनफल में क्या परिवर्तन होगा?

उत्तर

तब गुणनफल में 23 की वृद्धि होगी, अर्थात पहली संख्या के बराबर।

23 (27 + 1) = 23 × 27 + 23 × 1
= 621 + 23 = 644
जाँच: 23 × 28 = 644 ✓

ऐसा क्यों होता है: यह सर्वसमिका a (b + c) = ab + ac ही है जिसमें a = 23, b = 27, c = 1 है। 28 बिंदुओं की तेईस पंक्तियाँ, 27 बिंदुओं की तेईस पंक्तियों के साथ प्रत्येक पंक्ति में एक अतिरिक्त बिंदु हैं — कुल 23 अतिरिक्त बिंदु।

प्र3.

जब दोनों संख्याओं में 1 की वृद्धि की जाए तब गुणनफल में क्या परिवर्तन होगा?

उत्तर

गुणनफल में 27 + 23 + 1 = 51 की वृद्धि होगी।

(23 + 1)(27 + 1) = (23 + 1) 27 + (23 + 1) 1
= 23 × 27 + 27 + 23 + 1
= 621 + 51 = 672
जाँच: 24 × 28 = 672 ✓

ऐसा क्यों होता है: पहली संख्या बढ़ाने पर एक पूरी नई पंक्ति (27 बिंदु) जुड़ती है, दूसरी बढ़ाने पर एक पूरा नया स्तंभ (23 बिंदु) जुड़ता है, और जहाँ नई पंक्ति नए स्तंभ से मिलती है वह कोने का एक बिंदु अलग से जुड़ता है — यही “+ 1” है।

प्र4.

क्या आपको कोई ऐसा प्रतिरूप दिखाई देता है जो किन्हीं दो संख्याओं के गुणनफल के हमारे अवलोकन को सामान्यीकृत करने में सहायक हो?

उत्तर

हाँ। दोनों संख्याओं को a और b लिखिए। तब—

a (b + 1) = ab + a
(a + 1) b = ab + b
(a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1

a = 23 और b = 27 रखने पर ऊपर की तीनों वृद्धियाँ ठीक वैसी ही मिलती हैं — 23, 27 और 51।

संकेत: यह सामान्य कथन तीनों उत्तरों से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि यह एक साथ प्रत्येक संख्या-युग्म पर लागू होता है — ऋणात्मक संख्याओं पर भी। आगे यही सर्वसमिका 1 का रूप ले लेता है: (a + m)(b + n) = ab + mb + an + mn।

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