कक्षा ८ गणित अध्याय 6 पहेली का समय: सिक्कों का एकत्रीकरण के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-19
प्र1.
नीचे बाईं ओर दी गई आकृति में दर्शाए अनुसार 10 सिक्कों को एक त्रिभुज में व्यवस्थित कीजिए। इसके पश्चात एक बार में एक सिक्के का स्थान परिवर्तित कर त्रिभुज को उल्टा (ऊपर से नीचे की ओर) करना है। इसके लिए कितनी चालें आवश्यक हैं? चालों की न्यूनतम संख्या क्या होगी?
पृष्ठ 158 — त्रिभुज में रखे दस सिक्के (बाएँ) तथा उल्टा त्रिभुज (दाएँ)।
उत्तर
10 सिक्कों के त्रिभुज में 4 पंक्तियाँ हैं — ऊपर से 1, 2, 3, 4 सिक्के। उल्टे त्रिभुज में ऊपर से 4, 3, 2, 1 होंगे।
दोनों त्रिभुजों को एक-दूसरे पर रखिए: 7 सिक्के पहले से ही सही स्थानों पर बैठे मिलते हैं। केवल 3 सिक्के हटाने पड़ते हैं।
शिखर वाले अकेले सिक्के को सबसे नीचे की पंक्ति के नीचे रखिए।
सबसे नीचे की पंक्ति के दोनों सिरों के सिक्कों को उठाकर दूसरी पंक्ति के दोनों ओर रखिए।
चालों की न्यूनतम संख्या = 3
पुस्तक छोटी स्थितियाँ भी बताती है: 3 सिक्कों के त्रिभुज को 1 चाल और 6 सिक्कों के त्रिभुज को 2 चालों में पलटा जा सकता है।
ऐसा क्यों होता है: कोई सिक्का तभी अपनी जगह रह सकता है जब उसका स्थान सीधे और उल्टे दोनों त्रिभुजों में आता हो। 10 सिक्कों के लिए ऐसा सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाग 7 स्थानों का है, अतः कम-से-कम 10 – 7 = 3 सिक्के हटाने ही होंगे — और 3 से काम बन भी जाता है, इसलिए न्यूनतम 3 है।
प्र2.
15 सिक्कों वाले अगले बड़े त्रिभुज को पलटने के लिए न्यूनतम आवश्यक चालों का पता लगाइए। बड़ी त्रिभुजाकार संख्याओं के लिए भी यही प्रयास कीजिए।
उत्तर
15 सिक्कों के त्रिभुज में 5 पंक्तियाँ हैं। दोनों त्रिभुजों को एक-दूसरे पर रखने पर 10 सिक्के अपनी जगह रह जाते हैं, अतः 5 सिक्के हटाने पड़ते हैं — और 5 चालें पर्याप्त भी हैं।
पंक्तियाँ n
सिक्के T = n(n + 1)⁄2
न्यूनतम चालें
2
3
1
3
6
2
4
10
3
5
15
5
6
21
7
7
28
9
15 सिक्के: 5 चालें
प्र3.
क्या ऐसी किसी भी त्रिकोणीय व्यवस्था के लिए आवश्यक सिक्कों की चालों की न्यूनतम संख्या की गणना करने की कोई सरल विधि है?
उत्तर
हाँ। ऊपर की तालिका में “सिक्के” और “चालें” वाले स्तंभों की तुलना कीजिए: चालों की संख्या सदा सिक्कों की संख्या का एक तिहाई, नीचे की ओर पूर्णांकित है।
n पंक्तियों के त्रिभुज में सिक्के: T = n(n + 1)⁄2 न्यूनतम चालें = ⌊T ⁄ 3⌋ = ⌊n(n + 1) ⁄ 6⌋
n
T
T ⁄ 3
चालें
3
6
2
2 ✓
4
10
3.33…
3 ✓
5
15
5
5 ✓
6
21
7
7 ✓
8
36
12
12 ✓
ऐसा क्यों होता है: कोई सिक्का तभी टिक सकता है जब उसका स्थान दोनों त्रिभुजों में हो, और लगभग दो-तिहाई स्थान ही ऐसे बनाए जा सकते हैं। इसलिए लगभग हर तीसरे सिक्के को हटाना पड़ता है — और ठीक संख्या T ⁄ 3 का पूर्णांक भाग है।
प्रयास कीजिए: 3 सिक्कों के त्रिभुज पर नियम जाँचिए: T = 3, T ⁄ 3 = 1, और सचमुच एक ही चाल से वह पलट जाता है। फिर 21 सिक्कों वाले त्रिभुज को 7 चालों में पलटकर देखिए और इससे कम में करने का प्रयास कीजिए — कर नहीं पाएँगे।